Cálculo Exemplos

$y = \sin (\sin (x))$ , $(π, 0)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = π$ e $y = 0$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\cos (\sin (x)) \cos (x)$

Etapa 1.3

Reordene os fatores de $\cos (\sin (x)) \cos (x)$ .

$\cos (x) \cos (\sin (x))$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = π$ .

$\cos (π) \cos (\sin (π))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \cos (0) \cos (\sin (π))$

Etapa 1.5.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1 \cos (\sin (π))$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1 \cos (\sin (π))$

Etapa 1.5.4

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 1 \cos (\sin (0))$

Etapa 1.5.5

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 1 \cos (0)$

Etapa 1.5.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Etapa 1.5.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $- 1$ e um ponto determinado $(π, 0)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = - 1 \cdot (x - (π))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 0 = - 1 \cdot (x - π)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Some $y$ e $0$ .

$y = - 1 \cdot (x - π)$

Etapa 2.3.2

Simplifique $- 1 \cdot (x - π)$ .

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Etapa 2.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y = - 1 x - 1 (- π)$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$y = - x - 1 (- π)$

Etapa 2.3.2.3

Multiplique $- 1 (- π)$ .

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Etapa 2.3.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y = - x + 1 π$

Etapa 2.3.2.3.2

Multiplique $π$ por $1$ .

$y = - x + π$

Etapa 3