Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x \ln^{8} (x)} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \ln (x)$ . Depois, $d u = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \ln (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{8}} d u$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Mova $u^{8}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int {(u^{8})}^{- 1} d u$

Etapa 2.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{8})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{8 \cdot - 1} d u$

Etapa 2.2.2

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\int u^{- 8} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 8}$ com relação a $u$ é $- \frac{1}{7} u^{- 7}$ .

$- \frac{1}{7} u^{- 7} + C$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva $- \frac{1}{7} u^{- 7} + C$ como $- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{u^{7}} + C$ .

$- \frac{1}{7} \cdot \frac{1}{u^{7}} + C$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{7}}$ por $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{u^{7} \cdot 7} + C$

Etapa 4.2.2

Mova $7$ para a esquerda de $u^{7}$ .

$- \frac{1}{7 u^{7}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\ln (x)$ .

$- \frac{1}{7 \ln^{7} (x)} + C$