Cálculo Exemplos

$\cos (3 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 \sin (3 x) \cdot 1$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$f' (x) = - 3 \sin (3 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (3 x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$- 3 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$- 3 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 3 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$- 3 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.2

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$- 9 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \cos (3 x) \cdot 1$

Etapa 2.3.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$f'' (x) = - 9 \cos (3 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 \cos (3 x)$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [\cos (3 x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$- 9 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$- 9 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$- 9 (- \sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$9 (\sin (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 3.3.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$9 \sin (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3.3

Multiplique $3$ por $9$ .

$27 \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$27 \sin (3 x) \cdot 1$

Etapa 3.3.5

Multiplique $27$ por $1$ .

$f''' (x) = 27 \sin (3 x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27 \sin (3 x)$ em relação a $x$ é $27 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$ .

$27 \frac{d}{d x} [\sin (3 x)]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$27 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$27 (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$27 (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x])$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$27 \cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.3.2

Multiplique $3$ por $27$ .

$81 \cos (3 x) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$81 \cos (3 x) \cdot 1$

Etapa 4.3.4

Multiplique $81$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 81 \cos (3 x)$