Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{3} - 5 x^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 5 x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{4}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$9 x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$9 x^{2} - 5 (4 x^{3})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $- 5$ .

$9 x^{2} - 20 x^{3}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$f' (x) = - 20 x^{3} + 9 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 20 x^{3} + 9 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 20 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $- 20$ .

$- 60 x^{2} + \frac{d}{d x} [9 x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x^{2}$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 60 x^{2} + 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 60 x^{2} + 9 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$f'' (x) = - 60 x^{2} + 18 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 60 x^{2} + 18 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 60 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 60 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 60 (2 x) + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $- 60$ .

$- 120 x + \frac{d}{d x} [18 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [18 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18 x$ em relação a $x$ é $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 120 x + 18 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 120 x + 18 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $18$ por $1$ .

$f''' (x) = - 120 x + 18$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 120 x + 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [18]$ .

$\frac{d}{d x} [- 120 x] + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 120 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 120$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 120 x$ em relação a $x$ é $- 120 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 120 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 120 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 120$ por $1$ .

$- 120 + \frac{d}{d x} [18]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $18$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 120 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $- 120$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 120$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 120$ .

$- 120$