Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{5} - 5 x^{3} + x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$5 x^{4} - 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 5$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.3

Diferencie.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 1.3.2

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 x^{4} - 15 x^{2} + 1 + 0$

Etapa 1.3.3

Some $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ e $0$ .

$f' (x) = 5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{4} - 15 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$20 x^{3} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$20 x^{3} - 30 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$20 x^{3} - 30 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $20 x^{3} - 30 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} - 30 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $20 x^{3} - 30 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 30 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$60 x^{2} - 30 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$60 x^{2} - 30 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 30$ por $1$ .

$f''' (x) = 60 x^{2} - 30$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 x^{2} - 30$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$ .

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $60$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $60 x^{2}$ em relação a $x$ é $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$60 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$60 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 30]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $60$ .

$120 x + \frac{d}{d x} [- 30]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30$ em relação a $x$ é $0$ .

$120 x + 0$

Etapa 4.3.2

Some $120 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 120 x$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $120 x$ .

$120 x$