Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \sqrt{x^{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva $\frac{d}{d x} [5 \sqrt{x^{5}}]$ como $\frac{d}{d x} [5 (x^{2} \sqrt{x})]$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $x^{5}$ como ${(x^{2})}^{2} x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $x^{4}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{x^{4} x})$

Etapa 1.1.1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 \sqrt{{(x^{2})}^{2} x})$

Etapa 1.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} \sqrt{x}))$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 (x^{2} x^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 1.3

Multiplique $x^{2}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 + \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{2 \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2}{2} + \frac{1}{2}})$

Etapa 1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{2 \cdot 2 + 1}{2}})$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{4 + 1}{2}})$

Etapa 1.3.5.2

Some $4$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.4

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{\frac{5}{2}}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{2}}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{\frac{5}{2}})$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1})$

Etapa 1.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 1.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 1.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.9.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{5 - 2}{2}})$

Etapa 1.9.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5}{2} x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 1.10

Combine $\frac{5}{2}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$f' (x) = 5 (\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 1.11

Combine $5$ e $\frac{5 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ .

$f' (x) = \frac{5 (5 x^{\frac{3}{2}})}{2}$

Etapa 1.12

Multiplique $5$ por $5$ .

$f' (x) = \frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{25}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{25 x^{\frac{3}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{25}{2} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{3}{2}})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = \frac{25}{2} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 2.8

Multiplique $\frac{25}{2}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$f'' (x) = \frac{25 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.9

Multiplique.

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Etapa 2.9.1

Multiplique $3$ por $25$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 2}$

Etapa 2.9.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $\frac{75}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{75 x^{\frac{1}{2}}}{4}$ em relação a $x$ é $\frac{75}{4} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Etapa 3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Etapa 3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 3.8

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{4} \cdot \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 3.9

Multiplique $\frac{75}{4}$ por $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{4 \cdot 2}$

Etapa 3.10

Multiplique.

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Etapa 3.10.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{75 x^{- \frac{1}{2}}}{8}$

Etapa 3.10.2

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = \frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $\frac{75}{8}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{75}{8 x^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $\frac{75}{8} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ como ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1})$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{2} \cdot - 1})$

Etapa 4.2.2.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 1}{2}})$

Etapa 4.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{1}{2}})$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 1 - 2}{2}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{\frac{- 3}{2}})$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{1}{2} x^{- \frac{3}{2}})$

Etapa 4.9

Combine $x^{- \frac{3}{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{75}{8} \cdot (- \frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2})$

Etapa 4.10

Multiplique $\frac{75}{8}$ por $\frac{x^{- \frac{3}{2}}}{2}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{8 \cdot 2}$

Etapa 4.11

Multiplique.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $8$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75 x^{- \frac{3}{2}}}{16}$

Etapa 4.11.2

Mova $x^{- \frac{3}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{75}{16 x^{\frac{3}{2}}}$