Cálculo Exemplos

$y = \frac{x}{x + 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} (x + 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} (1))}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.4

Some $0$ e $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ como ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.1.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = - 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} (1 + 0)$

Etapa 2.3.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3} \cdot 1$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 {(x + 1)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{{(x + 1)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{3}}$ como ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{3 \cdot - 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{- 3}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f''' (x) = - 2 (- 3 {(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$f''' (x) = 6 ({(x + 1)}^{- 4} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} (1 + 0)$

Etapa 3.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4} \cdot 1$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$f''' (x) = 6 {(x + 1)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 6 (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

Etapa 3.4.2

Combine $6$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{{(x + 1)}^{4}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{4}})$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{4}}$ como ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{4})}^{- 1})$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{4 \cdot - 1})$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 6 \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{- 4})$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f^{4} (x) = 6 (- 4 {(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - 24 ({(x + 1)}^{- 5} \frac{d}{d x} (x + 1))$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 4.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} (1 + 0)$

Etapa 4.3.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.5.1

Some $1$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5} \cdot 1$

Etapa 4.3.5.2

Multiplique $- 24$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 24 {(x + 1)}^{- 5}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 24 \frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Combine $- 24$ e $\frac{1}{{(x + 1)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 24}{{(x + 1)}^{5}}$

Etapa 4.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{24}{{(x + 1)}^{5}}$