Cálculo Exemplos

$y = \frac{2 x - 1}{3 x + 4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = 2 x - 1$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \frac{d}{d x} (2 x - 1) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + \frac{d}{d x} (- 1)) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) (2 + 0) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{(3 x + 4) \cdot 2 - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Mova $2$ para a esquerda de $3 x + 4$ .

$f' (x) = \frac{2 \cdot (3 x + 4) - (2 x - 1) \frac{d}{d x} (3 x + 4)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} (4))}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.11

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) (3 + 0)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.12.1

Some $3$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - (2 x - 1) \cdot 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.2.12.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{2 (3 x + 4) - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x - 1)}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = \frac{2 (3 x) + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 2 \cdot 4 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 3 (2 x) - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.3

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x - 3 \cdot - 1}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.1.4

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f' (x) = \frac{6 x + 8 - 6 x + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2

Combine os termos opostos em $6 x + 8 - 6 x + 3$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Subtraia $6 x$ de $6 x$ .

$f' (x) = \frac{0 + 8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $0$ e $8$ .

$f' (x) = \frac{8 + 3}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 1.3.3.3

Some $8$ e $3$ .

$f' (x) = \frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{11}{{(3 x + 4)}^{2}}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}]$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}})$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{2}}$ como ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1})$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 x + 4)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{2 \cdot - 1})$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 11 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 4$ .

$f'' (x) = 11 (\frac{d}{d u} (u^{- 2}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$f'' (x) = 11 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 4$ .

$f'' (x) = 11 (- 2 {(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $11$ .

$f'' (x) = - 22 ({(3 x + 4)}^{- 3} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 2.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} (3 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.7.1

Some $3$ e $0$ .

$f'' (x) = - 22 {(3 x + 4)}^{- 3} \cdot 3$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $3$ por $- 22$ .

$f'' (x) = - 66 {(3 x + 4)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 66 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Combine $- 66$ e $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $- 66$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{66}{{(3 x + 4)}^{3}}$ em relação a $x$ é $- 66 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}]$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{3}}$ como ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 x + 4)}^{3})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{3 \cdot - 1}$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - 66 \frac{d}{d x} {(3 x + 4)}^{- 3}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 4$ .

$f''' (x) = - 66 (\frac{d}{d u} (u^{- 3}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$f''' (x) = - 66 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 4$ .

$f''' (x) = - 66 (- 3 {(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $- 66$ .

$f''' (x) = 198 ({(3 x + 4)}^{- 4} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 3.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} (3 + 0)$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.7.1

Some $3$ e $0$ .

$f''' (x) = 198 {(3 x + 4)}^{- 4} \cdot 3$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $3$ por $198$ .

$f''' (x) = 594 {(3 x + 4)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = 594 (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

Etapa 3.4.2

Combine $594$ e $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $594$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{594}{{(3 x + 4)}^{4}}$ em relação a $x$ é $594 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}]$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}})$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{4}}$ como ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1})$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(3 x + 4)}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{4 \cdot - 1})$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 594 \frac{d}{d x} ({(3 x + 4)}^{- 4})$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = 3 x + 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x + 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (\frac{d}{d u} (u^{- 4}) \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x + 4$ .

$f^{4} (x) = 594 (- 4 {(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 4$ por $594$ .

$f^{4} (x) = - 2376 ({(3 x + 4)}^{- 5} \frac{d}{d x} (3 x + 4))$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (\frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 4.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 4.3.5

Multiplique $3$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + \frac{d}{d x} (4))$

Etapa 4.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} (3 + 0)$

Etapa 4.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Some $3$ e $0$ .

$f^{4} (x) = - 2376 {(3 x + 4)}^{- 5} \cdot 3$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $3$ por $- 2376$ .

$f^{4} (x) = - 7128 {(3 x + 4)}^{- 5}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 7128 \frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Combine $- 7128$ e $\frac{1}{{(3 x + 4)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$

Etapa 4.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{7128}{{(3 x + 4)}^{5}}$