Cálculo Exemplos

$y = 2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 3 x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (- 3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 - 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 - 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.9

Combine $- 3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{- 6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.12

Fatore $3$ de $- 6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.13

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot - 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 2 + \frac{- 2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.2.15

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.2.16

Combine $2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}]$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 3.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{4}{3}}}$ como ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1})$

Etapa 3.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{4}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4}{3} \cdot - 1})$

Etapa 3.2.2.2

Multiplique $\frac{4}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.2.2.1

Combine $\frac{4}{3}$ e $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{4 \cdot - 1}{3}})$

Etapa 3.2.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{\frac{- 4}{3}})$

Etapa 3.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{- \frac{4}{3}})$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1})$

Etapa 3.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 3.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 3.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 4 - 3}{3}})$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ de $- 4$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{\frac{- 7}{3}})$

Etapa 3.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{4}{3} x^{- \frac{7}{3}})$

Etapa 3.9

Combine $x^{- \frac{7}{3}}$ e $\frac{4}{3}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{3} \cdot (- \frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3})$

Etapa 3.10

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4}{3}$ .

$f''' (x) = - \frac{2 (x^{- \frac{7}{3}} \cdot 4)}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.11

Multiplique.

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Etapa 3.11.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{3 \cdot 3}$

Etapa 3.11.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$f''' (x) = - \frac{8 x^{- \frac{7}{3}}}{9}$

Etapa 3.11.3

Mova $x^{- \frac{7}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f''' (x) = - \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $- \frac{8}{9}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{8}{9 x^{\frac{7}{3}}}$ em relação a $x$ é $- \frac{8}{9} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$

Etapa 4.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{7}{3}}}$ como ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} {(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$

Etapa 4.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{7}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7}{3} \cdot - 1}$

Etapa 4.2.2.2

Multiplique $\frac{7}{3} \cdot - 1$ .

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Etapa 4.2.2.2.1

Combine $\frac{7}{3}$ e $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{7 \cdot - 1}{3}}$

Etapa 4.2.2.2.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{\frac{- 7}{3}}$

Etapa 4.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot \frac{d}{d x} x^{- \frac{7}{3}}$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{7}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 7 - 3}{3}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $3$ de $- 7$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{\frac{- 10}{3}})$

Etapa 4.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{7}{3} x^{- \frac{10}{3}})$

Etapa 4.9

Combine $x^{- \frac{10}{3}}$ e $\frac{7}{3}$ .

$f^{4} (x) = - \frac{8}{9} \cdot (- \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3})$

Etapa 4.10

Multiplique.

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Etapa 4.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (\frac{8}{9}) \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Etapa 4.10.2

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = \frac{8}{9} \cdot \frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$

Etapa 4.11

Multiplique $\frac{8}{9}$ por $\frac{x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7}{3}$ .

$f^{4} (x) = \frac{8 (x^{- \frac{10}{3}} \cdot 7)}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.12

Multiplique.

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Etapa 4.12.1

Multiplique $7$ por $8$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{9 \cdot 3}$

Etapa 4.12.2

Multiplique $9$ por $3$ .

$f^{4} (x) = \frac{56 x^{- \frac{10}{3}}}{27}$

Etapa 4.12.3

Mova $x^{- \frac{10}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{56}{27 x^{\frac{10}{3}}}$