Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{x}{2 - 11 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 2 - 11 x$ .

$\frac{(2 - 11 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(2 - 11 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.2

Multiplique $2 - 11 x$ por $1$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [2 - 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 11 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2 - 11 x - x (0 + \frac{d}{d x} [- 11 x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- 11 x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x \frac{d}{d x} [- 11 x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 - 11 x - x (- 11 \frac{d}{d x} [x])}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 11$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \frac{d}{d x} [x]}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x \cdot 1}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.1

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{2 - 11 x + 11 x}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9.2

Some $- 11 x$ e $11 x$ .

$\frac{2 + 0}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.9.3.1

Some $2$ e $0$ .

$\frac{2}{{(2 - 11 x)}^{2}}$

Etapa 1.2.9.3.2

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}]$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{2}}$ como ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- 11 x + 2)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 2}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 2}$ e $g (x) = - 11 x + 2$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 11 x + 2$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$2 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 11 x + 2$ .

$2 (- 2 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 4 ({(- 11 x + 2)}^{- 3} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 11 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.3

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 2.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} (- 11 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $- 11$ e $0$ .

$- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 3} \cdot - 11$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $- 11$ por $- 4$ .

$44 {(- 11 x + 2)}^{- 3}$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$44 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

Etapa 2.4.2

Combine $44$ e $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 3.1.1

Como $44$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{44}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ em relação a $x$ é $44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$ .

$44 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}]$

Etapa 3.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{3}}$ como ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

$44 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}]$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- 11 x + 2)}^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{3 \cdot - 1}]$

Etapa 3.1.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$44 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 3}$ e $g (x) = - 11 x + 2$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 11 x + 2$ .

$44 (\frac{d}{d u} [u^{- 3}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 3$ .

$44 (- 3 u^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 11 x + 2$ .

$44 (- 3 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 3.3

Diferencie.

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Etapa 3.3.1

Multiplique $- 3$ por $44$ .

$- 132 ({(- 11 x + 2)}^{- 4} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 11 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.3.3

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 3.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} (- 11 + 0)$

Etapa 3.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.7.1

Some $- 11$ e $0$ .

$- 132 {(- 11 x + 2)}^{- 4} \cdot - 11$

Etapa 3.3.7.2

Multiplique $- 11$ por $- 132$ .

$1452 {(- 11 x + 2)}^{- 4}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1452 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

Etapa 3.4.2

Combine $1452$ e $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ .

$f''' (x) = \frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.1.1

Como $1452$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1452}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ em relação a $x$ é $1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$ .

$1452 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}]$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{4}}$ como ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}]$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(- 11 x + 2)}^{4})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{4 \cdot - 1}]$

Etapa 4.1.2.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$1452 \frac{d}{d x} [{(- 11 x + 2)}^{- 4}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 4}$ e $g (x) = - 11 x + 2$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 11 x + 2$ .

$1452 (\frac{d}{d u} [u^{- 4}] \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 4$ .

$1452 (- 4 u^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 11 x + 2$ .

$1452 (- 4 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique $- 4$ por $1452$ .

$- 5808 ({(- 11 x + 2)}^{- 5} \frac{d}{d x} [- 11 x + 2])$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 11 x + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (\frac{d}{d x} [- 11 x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 4.3.3

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11 x$ em relação a $x$ é $- 11 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 4.3.5

Multiplique $- 11$ por $1$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + \frac{d}{d x} [2])$

Etapa 4.3.6

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} (- 11 + 0)$

Etapa 4.3.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.7.1

Some $- 11$ e $0$ .

$- 5808 {(- 11 x + 2)}^{- 5} \cdot - 11$

Etapa 4.3.7.2

Multiplique $- 11$ por $- 5808$ .

$63888 {(- 11 x + 2)}^{- 5}$

Etapa 4.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$63888 \frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

Etapa 4.4.2

Combine $63888$ e $\frac{1}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$ .

$\frac{63888}{{(- 11 x + 2)}^{5}}$