Cálculo Exemplos

$y = (5 x^{2} - 1) (3 x^{3} + x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = 5 x^{2} - 1$ e $g (x) = 3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (3 x^{3} + x) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (3 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (5 x^{2} - 1)$

Etapa 1.2.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{2}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.9

Multiplique $2$ por $5$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

Etapa 1.2.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x + 0)$

Etapa 1.2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.11.1

Some $10 x$ e $0$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (3 x^{3} + x) (10 x)$

Etapa 1.2.11.2

Mova $10$ para a esquerda de $3 x^{3} + x$ .

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 \cdot ((3 x^{3} + x) x)$

Etapa 1.3

Simplifique.

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Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + (10 (3 x^{3}) + 10 x) x$

Etapa 1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2} + 1) + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = (5 x^{2} - 1) (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + (5 x^{2} - 1) \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f' (x) = 5 x^{2} (9 x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6

Combine os termos.

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Etapa 1.3.6.1

Multiplique $9$ por $5$ .

$f' (x) = 45 x^{2} x^{2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2

Multiplique $x^{2}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.6.2.1

Mova $x^{2}$ .

$f' (x) = 45 (x^{2} x^{2}) - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 45 x^{2 + 2} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.2.3

Some $2$ e $2$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 1 (9 x^{2}) + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.3

Multiplique $9$ por $- 1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.4

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 \cdot 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 9 x^{2} + 5 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.6

Some $- 9 x^{2}$ e $5 x^{2}$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 (3 x^{3}) x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.7

Multiplique $3$ por $10$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{3} x + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.8

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 (x \cdot x^{3}) + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{1 + 3} + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.10

Some $1$ e $3$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x \cdot x$

Etapa 1.3.6.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

Etapa 1.3.6.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 (x \cdot x)$

Etapa 1.3.6.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{1 + 1}$

Etapa 1.3.6.14

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = 45 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 30 x^{4} + 10 x^{2}$

Etapa 1.3.6.15

Some $45 x^{4}$ e $30 x^{4}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} - 4 x^{2} - 1 + 10 x^{2}$

Etapa 1.3.6.16

Some $- 4 x^{2}$ e $10 x^{2}$ .

$f' (x) = 75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $75 x^{4} + 6 x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [75 x^{4}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (75 x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [75 x^{4}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $75$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $75 x^{4}$ em relação a $x$ é $75 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 75 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 75 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $75$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x + 0$

Etapa 2.4.2

Some $300 x^{3} + 12 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 300 x^{3} + 12 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $300 x^{3} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [300 x^{3}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (300 x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [300 x^{3}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $300$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $300 x^{3}$ em relação a $x$ é $300 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f''' (x) = 300 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f''' (x) = 300 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 3.2.3

Multiplique $3$ por $300$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + \frac{d}{d x} (12 x)$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f''' (x) = 900 x^{2} + 12$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $900 x^{2} + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [900 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (900 x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [900 x^{2}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $900$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $900 x^{2}$ em relação a $x$ é $900 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 900 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 900 (2 x) + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $2$ por $900$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + \frac{d}{d x} (12)$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x + 0$

Etapa 4.3.2

Some $1800 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 1800 x$