Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\ln (x)}{10 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{\ln (x)}{10 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Etapa 1.4.4.2

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1 - \ln (x)}{10 x^{2}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}]$

Etapa 2.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [1 - \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [- \ln (x)] - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} [\ln (x)]) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x^{1}} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

Etapa 2.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4.2

Fatore $x$ de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.2.1

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4.2.2

Fatore $x$ de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 2.5.4.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Etapa 2.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Fatore $x$ de $x^{4}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Etapa 2.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Etapa 2.7

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$ .

$\frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$\frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.2.1.2

Multiplique $- 2 (- \ln (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.2.1.2.2

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $2$ de $- 1$ .

$\frac{- 3 + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.3

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$\frac{- 1 (3) + \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.4

Fatore $- 1$ de $\ln (x^{2})$ .

$\frac{- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$\frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{10 x^{3}}$

Etapa 2.8.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $- \frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{3 - \ln (x^{2})}{10 x^{3}}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}]$

Etapa 3.2

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{{(x^{3})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{3 \cdot 2}}$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [3 - \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 - \ln (x^{2})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{2})] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x^{2})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{3} (- (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{3}}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{2} x}{x^{2} \cdot 1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x}{1} \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.2.2.4

Divida $x$ por $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x \frac{d}{d x} [x^{2}] - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- x (2 x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.5.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x \cdot x - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 (x^{1} x^{1}) - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{1 + 1} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.9

Some $1$ e $1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) \frac{d}{d x} [x^{3}]}{x^{6}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - (3 - \ln (x^{2})) (3 x^{2})}{x^{6}}$

Etapa 3.11

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.11.2

Fatore $x^{2}$ de $- 2 x^{2} - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.11.2.1

Fatore $x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}}{x^{6}}$

Etapa 3.11.2.2

Fatore $x^{2}$ de $- 3 (3 - \ln (x^{2})) x^{2}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Etapa 3.11.2.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} \cdot - 2 + x^{2} (- 3 (3 - \ln (x^{2})))$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{6}}$

Etapa 3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.12.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{6}$ .

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.12.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{x^{2} (- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2})))}{x^{2} x^{4}}$

Etapa 3.12.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{1}{10} \cdot \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$

Etapa 3.13

Multiplique $\frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4}}$ por $\frac{1}{10}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{4} \cdot 10}$

Etapa 3.14

Mova $10$ para a esquerda de $x^{4}$ .

$- \frac{- 2 - 3 (3 - \ln (x^{2}))}{10 \cdot x^{4}}$

Etapa 3.15

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{- 2 - 3 \cdot 3 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.2.1.1

Multiplique $- 3$ por $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 - 3 (- \ln (x^{2}))}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.2.1.2

Multiplique $- 3 (- \ln (x^{2}))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.2.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + 3 \ln (x^{2})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.2.1.2.2

Simplifique $3 \ln (x^{2})$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$- \frac{- 2 - 9 + \ln ({(x^{2})}^{3})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.15.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{2 \cdot 3})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.2.1.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{- 2 - 9 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.2.2

Subtraia $9$ de $- 2$ .

$- \frac{- 11 + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.3

Reescreva $- 11$ como $- 1 (11)$ .

$- \frac{- 1 (11) + \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.4

Fatore $- 1$ de $\ln (x^{6})$ .

$- \frac{- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.5

Fatore $- 1$ de $- 1 (11) - 1 (- \ln (x^{6}))$ .

$- \frac{- 1 (11 - \ln (x^{6}))}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.7

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Etapa 3.15.8

Multiplique $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Como $\frac{1}{10}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{11 - \ln (x^{6})}{10 x^{4}}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$ .

$\frac{1}{10} \frac{d}{d x} [\frac{11 - \ln (x^{6})}{x^{4}}]$

Etapa 4.2

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{4})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{4 \cdot 2}}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [11 - \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $11 - \ln (x^{6})$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [11] + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.3.3

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (0 + \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} \frac{d}{d x} [- \ln (x^{6})] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \ln (x^{6})$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- \frac{d}{d x} [\ln (x^{6})]) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{6}$ .

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Etapa 4.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.4.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{x^{4} (- (\frac{1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}])) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 4.5.1

Combine $x^{4}$ e $\frac{1}{x^{6}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4}}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ e $x^{6}$ .

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Etapa 4.5.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{6}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.2.2.1

Fatore $x^{4}$ de $x^{6}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{x^{4} \cdot 1}{x^{4} x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{6}] - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- \frac{1}{x^{2}} (6 x^{5}) - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.5.4.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 \frac{1}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.2

Combine $- 6$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6}{x^{2}} x^{5} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.3

Combine $\frac{- 6}{x^{2}}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{5}}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.4

Cancele o fator comum de $x^{5}$ e $x^{2}$ .

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Etapa 4.5.4.4.1

Fatore $x^{2}$ de $- 6 x^{5}$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2}} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.5.4.4.2.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{x^{2} (- 6 x^{3})}{x^{2} \cdot 1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10} \cdot \frac{\frac{- 6 x^{3}}{1} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.4.4.2.4

Divida $- 6 x^{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{x^{8}}$

Etapa 4.5.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - (11 - \ln (x^{6})) (4 x^{3})}{x^{8}}$

Etapa 4.5.6

Combine frações.

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Etapa 4.5.6.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\frac{1}{10} \cdot \frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$

Etapa 4.5.6.2

Multiplique $\frac{1}{10}$ por $\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{x^{8}}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 4 (11 - \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 x^{3} + (- 4 \cdot 11 - 4 (- \ln (x^{6}))) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- 6 x^{3} - 4 \cdot 11 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.6.3.1.1

Multiplique $- 4$ por $11$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} - 4 (- \ln (x^{6})) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3.1.2

Multiplique $- 4 (- \ln (x^{6}))$ .

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Etapa 4.6.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + 4 \ln (x^{6}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3.1.2.2

Simplifique $4 \ln (x^{6})$ movendo $4$ para dentro do logaritmo.

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln ({(x^{6})}^{4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3.1.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{6})}^{4}$ .

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Etapa 4.6.3.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{6 \cdot 4}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3.1.3.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$\frac{- 6 x^{3} - 44 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3.2

Subtraia $44 x^{3}$ de $- 6 x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.3.3

Reordene os fatores em $- 50 x^{3} + \ln (x^{24}) x^{3}$ .

$\frac{- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.4

Fatore $x^{3}$ de $- 50 x^{3} + x^{3} \ln (x^{24})$ .

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Etapa 4.6.4.1

Fatore $x^{3}$ de $- 50 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} \ln (x^{24})}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.4.2

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} \ln (x^{24})$ .

$\frac{x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.4.3

Fatore $x^{3}$ de $x^{3} \cdot - 50 + x^{3} (\ln (x^{24}))$ .

$\frac{x^{3} (- 50 + \ln (x^{24}))}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.5

Expanda $\ln (x^{24})$ movendo $24$ para fora do logaritmo.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{10 x^{8}}$

Etapa 4.6.6

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.6.1

Fatore $x^{3}$ de $10 x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Etapa 4.6.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} (- 50 + 24 \ln (x))}{x^{3} (10 x^{5})}$

Etapa 4.6.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 50 + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Etapa 4.6.7

Cancele o fator comum de $- 50 + 24 \ln (x)$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.7.1

Fatore $2$ de $- 50$ .

$\frac{2 (- 25) + 24 \ln (x)}{10 x^{5}}$

Etapa 4.6.7.2

Fatore $2$ de $24 \ln (x)$ .

$\frac{2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Etapa 4.6.7.3

Fatore $2$ de $2 (- 25) + 2 (12 \ln (x))$ .

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{10 x^{5}}$

Etapa 4.6.7.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.7.4.1

Fatore $2$ de $10 x^{5}$ .

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Etapa 4.6.7.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- 25 + 12 \ln (x))}{2 (5 x^{5})}$

Etapa 4.6.7.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- 25 + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Etapa 4.6.8

Reescreva $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$\frac{- 1 (25) + 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Etapa 4.6.9

Fatore $- 1$ de $12 \ln (x)$ .

$\frac{- 1 (25) - (- 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Etapa 4.6.10

Fatore $- 1$ de $- 1 (25) - (- 12 \ln (x))$ .

$\frac{- 1 (25 - 12 \ln (x))}{5 x^{5}}$

Etapa 4.6.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$ .

$- \frac{25 - 12 \ln (x)}{5 x^{5}}$