Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)$

Etapa 1.3.2

Reordene os termos.

$f' (x) = x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} \cos (x) + 2 x \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + \frac{d}{d x} (2 x \sin (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (x \sin (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Etapa 2.3.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x) + 2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Some $\cos (x) (2 x)$ e $2 x \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Mova $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 2 x \cos (x) + 2 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

Etapa 2.4.2.2

Some $2 x \cos (x)$ e $2 x \cos (x)$ .

$f'' (x) = x^{2} (- \sin (x)) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = - x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} \sin (x) + 4 x \cos (x) + 2 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (4 x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x \cos (x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.3.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (2 \sin (x))$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x) + \sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - (x^{2} \cos (x)) - (\sin (x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 (\sin (x) (x)) + 4 (x (- \sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 \sin (x) x - 4 (x (\sin (x))) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.3

Subtraia $4 x \sin (x)$ de $- 2 \sin (x) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.3.3.1

Mova $\sin (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 2 x \sin (x) - 4 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.3.2

Subtraia $4 x \sin (x)$ de $- 2 x \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 4 \cos (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3.5.3.4

Some $4 \cos (x)$ e $2 \cos (x)$ .

$f''' (x) = - x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} \cos (x) - 6 x \sin (x) + 6 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2} \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2} \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x^{2} \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 6 x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x \sin (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.3.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (6 \cos (x))$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \cos (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 4.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) + 6 (- \sin (x))$

Etapa 4.4.3

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x)) + \cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x) + \sin (x)) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - (x^{2} (- \sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x^{2} (\sin (x))) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.3.2

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - (\cos (x) (2 x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 (\cos (x) (x)) - 6 (x \cos (x)) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.3.4

Subtraia $6 x \cos (x)$ de $- 2 \cos (x) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.5.3.4.1

Mova $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 2 x \cos (x) - 6 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.3.4.2

Subtraia $6 x \cos (x)$ de $- 2 x \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 6 \sin (x) - 6 \sin (x)$

Etapa 4.5.3.5

Subtraia $6 \sin (x)$ de $- 6 \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$ .

$x^{2} \sin (x) - 8 x \cos (x) - 12 \sin (x)$