Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{2} \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f' (x) = x^{2} \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = x^{2} (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{x}$ .

$f' (x) = \frac{x^{2}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{x}{1} + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.2.2.5

Divida $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \ln (x) \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x + \ln (x) (2 x)$

Etapa 1.3.4

Reordene os termos.

$f' (x) = 2 x \ln (x) + x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x \ln (x) + x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x \ln (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{1}{x}) + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.5

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.6

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.2.7

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (1 + \ln (x)) + 1$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 2 \cdot 1 + 2 \ln (x) + 1$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 2 + 2 \ln (x) + 1$

Etapa 2.4.2.2

Some $2$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 \ln (x) + 3$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \ln (x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (2 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \ln (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \ln (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = 2 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 3.2.3

Combine $2$ e $\frac{1}{x}$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x} + 0$

Etapa 3.3.2

Some $\frac{2}{x}$ e $0$ .

$f''' (x) = \frac{2}{x}$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 4.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f^{4} (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f^{4} (x) = 2 (- x^{- 2})$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f^{4} (x) = - 2 x^{- 2}$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f^{4} (x) = - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.5.2

Combine os termos.

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Etapa 4.5.2.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f^{4} (x) = \frac{- 2}{x^{2}}$

Etapa 4.5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f^{4} (x) = - \frac{2}{x^{2}}$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}}$