Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} \cos (6 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2} \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$2 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 x$ .

$2 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$2 (x^{2} (- \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 x$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4

Diferencie.

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Etapa 1.4.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x) \cdot 1) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 1.4.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x))$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Etapa 1.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.5.2.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$- 12 (x^{2} (\sin (6 x))) + 2 (\cos (6 x) (2 x))$

Etapa 1.5.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 \cos (6 x) x$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = - 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 12 x^{2} \sin (6 x) + 4 x \cos (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{2} \sin (6 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{2} \sin (6 x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$- 12 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 12 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.2.8

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x \cos (6 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Etapa 2.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Etapa 2.3.8

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1)$

Etapa 2.3.9

Multiplique $\cos (6 x)$ por $1$ .

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x))$

Etapa 2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 12 (x^{2} (6 \cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Etapa 2.4.3

Combine os termos.

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Etapa 2.4.3.1

Multiplique $6$ por $- 12$ .

$- 72 (x^{2} (\cos (6 x))) - 12 (\sin (6 x) (2 x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Etapa 2.4.3.2

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 (\sin (6 x) (x)) + 4 (x (- 6 \sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Etapa 2.4.3.3

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 \sin (6 x) x - 24 (x (\sin (6 x))) + 4 \cos (6 x)$

Etapa 2.4.3.4

Subtraia $24 x \sin (6 x)$ de $- 24 \sin (6 x) x$ .

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Etapa 2.4.3.4.1

Mova $\sin (6 x)$ .

$- 72 x^{2} \cos (6 x) - 24 x \sin (6 x) - 24 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Etapa 2.4.3.4.2

Subtraia $24 x \sin (6 x)$ de $- 24 x \sin (6 x)$ .

$f'' (x) = - 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 72 x^{2} \cos (6 x) - 48 x \sin (6 x) + 4 \cos (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x^{2} \cos (6 x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x^{2} \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)]$ .

$- 72 \frac{d}{d x} [x^{2} \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 3.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.2.8

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 48 x \sin (6 x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48 x \sin (6 x)$ em relação a $x$ é $- 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 \frac{d}{d x} [x \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.3.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.8

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cdot \cos (6 x)) + \sin (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.3.9

Multiplique $\sin (6 x)$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + \frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [4 \cos (6 x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 3.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 3.4.2.2

A derivada de $\cos (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $- \sin (u_{3})$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 3.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $6 x$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 3.4.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 3.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) (6 \cdot 1))$

Etapa 3.4.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- \sin (6 x) \cdot 6)$

Etapa 3.4.6

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) + 4 (- 6 \sin (6 x))$

Etapa 3.4.7

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5

Simplifique.

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Etapa 3.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x)) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 72 (x^{2} (- 6 \sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.3

Combine os termos.

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Etapa 3.5.3.1

Multiplique $- 6$ por $- 72$ .

$432 (x^{2} (\sin (6 x))) - 72 (\cos (6 x) (2 x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.3.2

Multiplique $2$ por $- 72$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 (\cos (6 x) (x)) - 48 (x (6 \cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.3.3

Multiplique $6$ por $- 48$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 \cos (6 x) x - 288 (x (\cos (6 x))) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.3.4

Subtraia $288 x \cos (6 x)$ de $- 144 \cos (6 x) x$ .

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Etapa 3.5.3.4.1

Mova $\cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 144 x \cos (6 x) - 288 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.3.4.2

Subtraia $288 x \cos (6 x)$ de $- 144 x \cos (6 x)$ .

$432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 48 \sin (6 x) - 24 \sin (6 x)$

Etapa 3.5.3.5

Subtraia $24 \sin (6 x)$ de $- 48 \sin (6 x)$ .

$f''' (x) = 432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $432 x^{2} \sin (6 x) - 432 x \cos (6 x) - 72 \sin (6 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [432 x^{2} \sin (6 x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $432$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $432 x^{2} \sin (6 x)$ em relação a $x$ é $432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)]$ .

$432 \frac{d}{d x} [x^{2} \sin (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (6 x)$ .

$432 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (6 x)] + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 4.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 x$ .

$432 (x^{2} (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.3.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$432 (x^{2} (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 x$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) (6 \cdot 1)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$432 (x^{2} (\cos (6 x) \cdot 6) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.2.8

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 432 x \cos (6 x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 432$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 432 x \cos (6 x)$ em relação a $x$ é $- 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 \frac{d}{d x} [x \cos (6 x)] + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x \frac{d}{d x} [\cos (6 x)] + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 4.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.3.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) (6 \cdot 1)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.7

Multiplique $6$ por $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- \sin (6 x) \cdot 6) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.8

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.3.9

Multiplique $\cos (6 x)$ por $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) + \frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$

Etapa 4.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 \sin (6 x)]$ .

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Etapa 4.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 \sin (6 x)$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 \frac{d}{d x} [\sin (6 x)]$

Etapa 4.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 6 x$ .

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Etapa 4.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\frac{d}{d u_{3}} [\sin (u_{3})] \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 4.4.2.2

A derivada de $\sin (u_{3})$ em relação a $u_{3}$ é $\cos (u_{3})$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (u_{3}) \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 4.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $6 x$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x])$

Etapa 4.4.3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 4.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) (6 \cdot 1))$

Etapa 4.4.5

Multiplique $6$ por $1$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (\cos (6 x) \cdot 6)$

Etapa 4.4.6

Mova $6$ para a esquerda de $\cos (6 x)$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 72 (6 \cdot \cos (6 x))$

Etapa 4.4.7

Multiplique $6$ por $- 72$ .

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x)) + \sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5

Simplifique.

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Etapa 4.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x)) + \cos (6 x)) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$432 (x^{2} (6 \cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.3

Combine os termos.

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Etapa 4.5.3.1

Multiplique $6$ por $432$ .

$2592 (x^{2} (\cos (6 x))) + 432 (\sin (6 x) (2 x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.3.2

Multiplique $2$ por $432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 (\sin (6 x) (x)) - 432 (x (- 6 \sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.3.3

Multiplique $- 6$ por $- 432$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 \sin (6 x) x + 2592 (x (\sin (6 x))) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.3.4

Some $864 \sin (6 x) x$ e $2592 x \sin (6 x)$ .

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Etapa 4.5.3.4.1

Mova $\sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 864 x \sin (6 x) + 2592 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.3.4.2

Some $864 x \sin (6 x)$ e $2592 x \sin (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 432 \cos (6 x) - 432 \cos (6 x)$

Etapa 4.5.3.5

Subtraia $432 \cos (6 x)$ de $- 432 \cos (6 x)$ .

$f^{4} (x) = 2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$ .

$2592 x^{2} \cos (6 x) + 3456 x \sin (6 x) - 864 \cos (6 x)$