Cálculo Exemplos

$y = \frac{\sqrt{x} - 5}{\sqrt{x} + 5}$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 5}{\sqrt{x} + 5}$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}} + 5}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x^{\frac{1}{2}} - 5}{x^{\frac{1}{2}} + 5})$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}} - 5$ e $g (x) = x^{\frac{1}{2}} + 5$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} - 5] - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie.

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Etapa 4.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.7.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [- 5]) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.8

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0) - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.9

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} + 5]}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.10

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{\frac{1}{2}} + 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.12

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.13

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.15

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.15.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.15.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.16

Combine frações.

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Etapa 4.16.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.16.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.16.3

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [5])}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.17

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) (\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0)}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.18

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{(x^{\frac{1}{2}} + 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19

Simplifique.

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Etapa 4.19.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - (x^{\frac{1}{2}} - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + (- x^{\frac{1}{2}} - - 5) \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.19.4.1

Combine os termos opostos em $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Etapa 4.19.4.1.1

Subtraia $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ de $x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0 - - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.1.2

Some $5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$\frac{5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.19.4.2.1

Combine $5$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} - - 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 5 \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.2.3

Combine $5$ e $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{5 + 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.4

Some $5$ e $5$ .

$\frac{\frac{10}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.5

Fatore $2$ de $10$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.19.4.6.1

Fatore $2$ de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 \cdot 5}{2 (x^{\frac{1}{2}})}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\frac{2 \cdot 5}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.4.6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.5

Combine os termos.

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Etapa 4.19.5.1

Reescreva $\frac{\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$ como um produto.

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 4.19.5.2

Multiplique $\frac{5}{x^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$ .

$\frac{5}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{5}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5}{x^{\frac{1}{2}} {(x^{\frac{1}{2}} + 5)}^{2}}$