Cálculo Exemplos

$f (x) = {(x^{2} + 7)}^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{7}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{7}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 7$ .

$f' (x) = 7 u^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)$

Etapa 1.2

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} (7))$

Etapa 1.2.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x + 0)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f' (x) = 7 {(x^{2} + 7)}^{6} (2 x)$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$f' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$

Etapa 1.2.4.3

Reordene os fatores de $14 {(x^{2} + 7)}^{6} x$ .

$f' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x {(x^{2} + 7)}^{6}$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{6}]$ .

$f'' (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{6})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$f'' (x) = 14 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{6}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{6}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (x (\frac{d}{d u} (u^{6}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 u^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 14 (x (6 {(x^{2} + 7)}^{5} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.4.4.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 14 (x (12 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 14 (x \cdot x (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 14 (x^{1 + 1} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6} \cdot 1)$

Etapa 2.10

Multiplique ${(x^{2} + 7)}^{6}$ por $1$ .

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5}) + {(x^{2} + 7)}^{6})$

Etapa 2.11

Simplifique.

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Etapa 2.11.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = 14 (x^{2} (12 {(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Etapa 2.11.2

Multiplique $12$ por $14$ .

$f'' (x) = 168 (x^{2} ({(x^{2} + 7)}^{5})) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Etapa 2.11.3

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5} + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.3.1

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $168 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{6}$

Etapa 2.11.3.2

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $14 {(x^{2} + 7)}^{6}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$

Etapa 2.11.3.3

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{5}$ de $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2}) + 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (x^{2} + 7)$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (12 x^{2} + x^{2} + 7)$

Etapa 2.11.4

Some $12 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 {(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7)]$ .

$f''' (x) = 14 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 x^{2} + 7))$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(x^{2} + 7)}^{5}$ e $g (x) = 13 x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} \frac{d}{d x} (13 x^{2} + 7) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13 x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [13 x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (\frac{d}{d x} (13 x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3.2

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13 x^{2}$ em relação a $x$ é $13 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (13 (2 x) + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3.4

Multiplique $2$ por $13$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + \frac{d}{d x} (7)) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x + 0) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.3.6.1

Some $26 x$ e $0$ .

$f''' (x) = 14 ({(x^{2} + 7)}^{5} (26 x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.3.6.2

Mova $26$ para a esquerda de ${(x^{2} + 7)}^{5}$ .

$f''' (x) = 14 (26 \cdot ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + (13 x^{2} + 7) \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{5}))$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (\frac{d}{d u} (u^{5}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 u^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Etapa 3.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (13 x^{2} + 7) (5 {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)))$

Etapa 3.5

Diferencie.

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Etapa 3.5.1

Mova $5$ para a esquerda de $13 x^{2} + 7$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 \cdot ((13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7))$

Etapa 3.5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7)))$

Etapa 3.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} (7)))$

Etapa 3.5.4

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x + 0))$

Etapa 3.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.5.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 5 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} (2 x))$

Etapa 3.5.5.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 10 (13 x^{2} + 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Etapa 3.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x + (10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Etapa 3.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = 14 (26 {(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Etapa 3.6.3

Multiplique $26$ por $14$ .

$f''' (x) = 364 ({(x^{2} + 7)}^{5} x) + 14 ((10 (13 x^{2}) + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Etapa 3.6.4

Multiplique $13$ por $10$ .

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 10 \cdot 7) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Etapa 3.6.5

Multiplique $10$ por $7$ .

$f''' (x) = 364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 ((130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x)$

Etapa 3.6.6

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.6.6.1

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $364 {(x^{2} + 7)}^{5} x$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$

Etapa 3.6.6.2

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $14 (130 x^{2} + 70) {(x^{2} + 7)}^{4} x$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$

Etapa 3.6.6.3

Fatore $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x$ de $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7)) + 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (130 x^{2} + 70)$ .

$f''' (x) = 14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

Etapa 3.6.7

Reordene os fatores de $14 {(x^{2} + 7)}^{4} x (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$ .

$f''' (x) = 14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 (x^{2} + 7) + 130 x^{2} + 70)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 26 \cdot 7 + 130 x^{2} + 70))$

Etapa 4.1.1.2

Multiplique $26$ por $7$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (26 x^{2} + 182 + 130 x^{2} + 70))$

Etapa 4.1.2

Simplifique somando os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Some $26 x^{2}$ e $130 x^{2}$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 182 + 70))$

Etapa 4.1.2.2

Some $182$ e $70$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

Etapa 4.1.3

Como $14$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $14 x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)$ em relação a $x$ é $14 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252)]$ .

$f^{4} (x) = 14 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 x^{2} + 252))$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x {(x^{2} + 7)}^{4}$ e $g (x) = 156 x^{2} + 252$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (156 x^{2} + 252) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $156 x^{2} + 252$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [156 x^{2}] + \frac{d}{d x} [252]$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (\frac{d}{d x} (156 x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.3.2

Como $156$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $156 x^{2}$ em relação a $x$ é $156 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (156 (2 x) + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.3.4

Multiplique $2$ por $156$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + \frac{d}{d x} (252)) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.3.5

Como $252$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $252$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x + 0) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.3.6

Some $312 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (x {(x^{2} + 7)}^{4} (312 x) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x \cdot x {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = 14 (x^{1 + 1} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.7.1

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 312 + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.7.2

Mova $312$ para a esquerda de $x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 \cdot (x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4}) + (156 x^{2} + 252) \frac{d}{d x} (x {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 4.8

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 7)}^{4}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.9

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Etapa 4.9.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.9.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 7)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.10

Diferencie.

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Etapa 4.10.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (7))) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.10.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x + 0)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.10.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.10.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (4 {(x^{2} + 7)}^{3} (2 x)) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.10.4.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x (8 {(x^{2} + 7)}^{3} x) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.11

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.12

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x \cdot x (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.13

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{1 + 1} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.14

Some $1$ e $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 4.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4} \cdot 1))$

Etapa 4.16

Multiplique ${(x^{2} + 7)}^{4}$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$ .

$14 (312 x^{2} {(x^{2} + 7)}^{4} + (156 x^{2} + 252) (x^{2} (8 {(x^{2} + 7)}^{3}) + {(x^{2} + 7)}^{4}))$