Cálculo Exemplos

$f (x) = {(2 x + 7)}^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 7$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 7$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \frac{d}{d x} [2 x + 7]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} [7])$

Etapa 1.2.5

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} (2 + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$3 {(2 x + 7)}^{2} \cdot 2$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = 6 {(2 x + 7)}^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(2 x + 7)}^{2}$ como $(2 x + 7) (2 x + 7)$ .

$\frac{d}{d x} [6 ((2 x + 7) (2 x + 7))]$

Etapa 2.2

Expanda $(2 x + 7) (2 x + 7)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x + 7) + 7 (2 x + 7))]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x + 7))]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [6 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x \cdot x + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 (x \cdot x) + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (2 \cdot 2 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 2 x \cdot 7 + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $7$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 7 (2 x) + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3.1.5

Multiplique $2$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 7 \cdot 7)]$

Etapa 2.3.1.6

Multiplique $7$ por $7$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 14 x + 14 x + 49)]$

Etapa 2.3.2

Some $14 x$ e $14 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 (4 x^{2} + 28 x + 49)]$

Etapa 2.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 (4 x^{2} + 28 x + 49)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$ .

$6 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 28 x + 49]$

Etapa 2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 28 x + 49$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49]$ .

$6 (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$6 (8 x + \frac{d}{d x} [28 x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.9

Como $28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $28 x$ em relação a $x$ é $28 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 (8 x + 28 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 (8 x + 28 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.11

Multiplique $28$ por $1$ .

$6 (8 x + 28 + \frac{d}{d x} [49])$

Etapa 2.12

Como $49$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $49$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 (8 x + 28 + 0)$

Etapa 2.13

Some $8 x + 28$ e $0$ .

$6 (8 x + 28)$

Etapa 2.14

Simplifique.

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Etapa 2.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$6 (8 x) + 6 \cdot 28$

Etapa 2.14.2

Combine os termos.

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Etapa 2.14.2.1

Multiplique $8$ por $6$ .

$48 x + 6 \cdot 28$

Etapa 2.14.2.2

Multiplique $6$ por $28$ .

$f'' (x) = 48 x + 168$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $48 x + 168$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$ .

$\frac{d}{d x} [48 x] + \frac{d}{d x} [168]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x]$ .

$48 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [168]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$48 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [168]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $48$ por $1$ .

$48 + \frac{d}{d x} [168]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 3.3.1

Como $168$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $168$ em relação a $x$ é $0$ .

$48 + 0$

Etapa 3.3.2

Some $48$ e $0$ .

$f''' (x) = 48$

Etapa 4

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 0$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $0$ .

$0$