Cálculo Exemplos

$f (x) = {(2 x + 1)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 1.2.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} (2 + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $2$ e $0$ .

$f' (x) = 4 {(2 x + 1)}^{3} \cdot 2$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (x) = 8 {(2 x + 1)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 {(2 x + 1)}^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [{(2 x + 1)}^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} ({(2 x + 1)}^{3})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 u^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 8 (3 {(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 ({(2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 2.3.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} (2 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 24 {(2 x + 1)}^{2} \cdot 2$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $2$ por $24$ .

$f'' (x) = 48 {(2 x + 1)}^{2}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(2 x + 1)}^{2}$ como $(2 x + 1) (2 x + 1)$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 ((2 x + 1) (2 x + 1)))$

Etapa 3.2

Expanda $(2 x + 1) (2 x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x + 1) + 1 (2 x + 1)))$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x + 1)))$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 x (2 x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x \cdot x) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 (x \cdot x)) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (2 \cdot (2 x^{2}) + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x \cdot 1 + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 1 (2 x) + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $2 x$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1 \cdot 1))$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $1$ por $1$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 2 x + 2 x + 1))$

Etapa 3.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (48 (4 x^{2} + 4 x + 1))$

Etapa 3.4

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 (4 x^{2} + 4 x + 1)$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4 x + 1]$ .

$f''' (x) = 48 \frac{d}{d x} (4 x^{2} + 4 x + 1)$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 4 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f''' (x) = 48 (\frac{d}{d x} (4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f''' (x) = 48 (4 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f''' (x) = 48 (4 (2 x) + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.11

Multiplique $4$ por $1$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + \frac{d}{d x} (1))$

Etapa 3.12

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4 + 0)$

Etapa 3.13

Some $8 x + 4$ e $0$ .

$f''' (x) = 48 (8 x + 4)$

Etapa 3.14

Simplifique.

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Etapa 3.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = 48 (8 x) + 48 \cdot 4$

Etapa 3.14.2

Combine os termos.

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Etapa 3.14.2.1

Multiplique $8$ por $48$ .

$f''' (x) = 384 x + 48 \cdot 4$

Etapa 3.14.2.2

Multiplique $48$ por $4$ .

$f''' (x) = 384 x + 192$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $384 x + 192$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [384 x] + \frac{d}{d x} [192]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (384 x) + \frac{d}{d x} (192)$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [384 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $384$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $384 x$ em relação a $x$ é $384 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f^{4} (x) = 384 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (192)$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = 384 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (192)$

Etapa 4.2.3

Multiplique $384$ por $1$ .

$f^{4} (x) = 384 + \frac{d}{d x} (192)$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $192$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $192$ em relação a $x$ é $0$ .

$f^{4} (x) = 384 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $384$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 384$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $384$ .

$384$