Cálculo Exemplos

$f (x) = {(8 x + 9)}^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 8 x + 9$ .

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Etapa 1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x + 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Etapa 1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x + 9$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} \frac{d}{d x} [8 x + 9]$

Etapa 1.2

Diferencie.

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Etapa 1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.2.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.2.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 1.2.5

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} (8 + 0)$

Etapa 1.2.6

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.6.1

Some $8$ e $0$ .

$4 {(8 x + 9)}^{3} \cdot 8$

Etapa 1.2.6.2

Multiplique $8$ por $4$ .

$f' (x) = 32 {(8 x + 9)}^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $32 {(8 x + 9)}^{3}$ em relação a $x$ é $32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 9)}^{3}]$ .

$32 \frac{d}{d x} [{(8 x + 9)}^{3}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = 8 x + 9$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $8 x + 9$ .

$32 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$32 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $8 x + 9$ .

$32 (3 {(8 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Etapa 2.3

Diferencie.

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Etapa 2.3.1

Multiplique $3$ por $32$ .

$96 ({(8 x + 9)}^{2} \frac{d}{d x} [8 x + 9])$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.3.3

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.3.5

Multiplique $8$ por $1$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 + \frac{d}{d x} [9])$

Etapa 2.3.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} (8 + 0)$

Etapa 2.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.7.1

Some $8$ e $0$ .

$96 {(8 x + 9)}^{2} \cdot 8$

Etapa 2.3.7.2

Multiplique $8$ por $96$ .

$f'' (x) = 768 {(8 x + 9)}^{2}$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

Reescreva ${(8 x + 9)}^{2}$ como $(8 x + 9) (8 x + 9)$ .

$\frac{d}{d x} [768 ((8 x + 9) (8 x + 9))]$

Etapa 3.2

Expanda $(8 x + 9) (8 x + 9)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x + 9) + 9 (8 x + 9))]$

Etapa 3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x + 9))]$

Etapa 3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [768 (8 x (8 x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x \cdot x + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 (x \cdot x) + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (8 \cdot 8 x^{2} + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3.1.3

Multiplique $8$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 8 x \cdot 9 + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3.1.4

Multiplique $9$ por $8$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 9 (8 x) + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3.1.5

Multiplique $8$ por $9$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 72 x + 9 \cdot 9)]$

Etapa 3.3.1.6

Multiplique $9$ por $9$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 72 x + 72 x + 81)]$

Etapa 3.3.2

Some $72 x$ e $72 x$ .

$\frac{d}{d x} [768 (64 x^{2} + 144 x + 81)]$

Etapa 3.4

Como $768$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $768 (64 x^{2} + 144 x + 81)$ em relação a $x$ é $768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 144 x + 81]$ .

$768 \frac{d}{d x} [64 x^{2} + 144 x + 81]$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{2} + 144 x + 81$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81]$ .

$768 (\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.6

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{2}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$768 (64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$768 (64 (2 x) + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.8

Multiplique $2$ por $64$ .

$768 (128 x + \frac{d}{d x} [144 x] + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.9

Como $144$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $144 x$ em relação a $x$ é $144 \frac{d}{d x} [x]$ .

$768 (128 x + 144 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$768 (128 x + 144 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.11

Multiplique $144$ por $1$ .

$768 (128 x + 144 + \frac{d}{d x} [81])$

Etapa 3.12

Como $81$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $81$ em relação a $x$ é $0$ .

$768 (128 x + 144 + 0)$

Etapa 3.13

Some $128 x + 144$ e $0$ .

$768 (128 x + 144)$

Etapa 3.14

Simplifique.

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Etapa 3.14.1

Aplique a propriedade distributiva.

$768 (128 x) + 768 \cdot 144$

Etapa 3.14.2

Combine os termos.

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Etapa 3.14.2.1

Multiplique $128$ por $768$ .

$98304 x + 768 \cdot 144$

Etapa 3.14.2.2

Multiplique $768$ por $144$ .

$f''' (x) = 98304 x + 110592$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $98304 x + 110592$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [110592]$ .

$\frac{d}{d x} [98304 x] + \frac{d}{d x} [110592]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [98304 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $98304$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $98304 x$ em relação a $x$ é $98304 \frac{d}{d x} [x]$ .

$98304 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [110592]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$98304 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [110592]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $98304$ por $1$ .

$98304 + \frac{d}{d x} [110592]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $110592$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $110592$ em relação a $x$ é $0$ .

$98304 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $98304$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 98304$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $98304$ .

$98304$