Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} + 6 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} + 12 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 x) + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$12 x + \frac{d}{d x} [12 x]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 x + 12 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 x + 12 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$f''' (x) = 12 x + 12$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [12 x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [12 x]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12 x$ em relação a $x$ é $12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.2.3

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.3.1

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$12 + 0$

Etapa 4.3.2

Some $12$ e $0$ .

$f^{4} (x) = 12$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $12$ .

$12$