Cálculo Exemplos

$\int (2 x + 5) {(x^{2} + 5 x)}^{7} d x$

Etapa 1

Deixe $u = x^{2} + 5 x$ . Depois, $d u = (2 x + 5) d x$ , então, $\frac{1}{2 x + 5} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = x^{2} + 5 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 5 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [5 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 5 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$2 x + 5$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{7} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{7}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$\frac{1}{8} u^{8} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 5 x$ .

$\frac{1}{8} {(x^{2} + 5 x)}^{8} + C$