Cálculo Exemplos

$\int (t^{2} + t) \cos (3 t) d t$

Etapa 1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int t^{2} \cos (3 t) + t \cos (3 t) d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int t^{2} \cos (3 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t^{2}$ e $d v = \cos (3 t)$ .

$t^{2} (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 t)$ .

$t^{2} \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 4.2

Combine $t^{2}$ e $\frac{\sin (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) (2 t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{3} \cdot 2$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int \sin (3 t) (t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} \int \sin (3 t) (t) d t + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 7

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = \sin (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{1}{3} \cos (3 t)) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\cos (3 t)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (t (- \frac{\cos (3 t)}{3}) - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 8.2

Combine $t$ e $\frac{\cos (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{1}{3} \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 8.3

Combine $\cos (3 t)$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - \int - \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} - - \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + 1 \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 10.2

Multiplique $\int \frac{\cos (3 t)}{3} d t$ por $1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \int \frac{\cos (3 t)}{3} d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 11

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (3 t) d t) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 12

Deixe $u_{1} = 3 t$ . Depois, $d u_{1} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{1} = d t$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{1} = 3 t$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d t}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 12.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 13

Combine $\cos (u_{1})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} \int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 14

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1})) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{3 \cdot 3} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 15.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \int \cos (u_{1}) d u_{1}) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 16

A integral de $\cos (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\sin (u_{1})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \int t \cos (3 t) d t$

Etapa 17

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = t$ e $d v = \cos (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t (\frac{1}{3} \sin (3 t)) - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Etapa 18

Simplifique.

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Etapa 18.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\sin (3 t)$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + t \frac{\sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Etapa 18.2

Combine $t$ e $\frac{\sin (3 t)}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \int \frac{1}{3} \sin (3 t) d t$

Etapa 19

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - (\frac{1}{3} \int \sin (3 t) d t)$

Etapa 20

Deixe $u_{2} = 3 t$ . Depois, $d u_{2} = 3 d t$ , então, $\frac{1}{3} d u_{2} = d t$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 20.1

Deixe $u_{2} = 3 t$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Etapa 20.1.1

Diferencie $3 t$ .

$\frac{d}{d t} [3 t]$

Etapa 20.1.2

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 20.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Etapa 20.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$3$

Etapa 20.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Etapa 21

Combine $\sin (u_{2})$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Etapa 22

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{3 \cdot 3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 23.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 24

A integral de $\sin (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $- \cos (u_{2})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} - \frac{2}{3} (- \frac{t \cos (3 t)}{3} + \frac{1}{9} (\sin (u_{1}) + C)) + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2}) + C)$

Etapa 25

Simplifique.

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Etapa 25.1

Simplifique.

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} - \frac{1}{9} (- \cos (u_{2})) + C$

Etapa 25.2

Simplifique.

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Etapa 25.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + 1 (\frac{1}{9}) \cos (u_{2}) + C$

Etapa 25.2.2

Multiplique $\frac{1}{9}$ por $1$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{1}{9} \cos (u_{2}) + C$

Etapa 25.2.3

Combine $\frac{1}{9}$ e $\cos (u_{2})$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (u_{1})}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

Etapa 26

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 26.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 t$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (u_{2})}{9} + C$

Etapa 26.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $3 t$ .

$\frac{t^{2} \sin (3 t)}{3} + \frac{2 t \cos (3 t)}{9} - \frac{2 \sin (3 t)}{27} + \frac{t \sin (3 t)}{3} + \frac{\cos (3 t)}{9} + C$

Etapa 27

Reordene os termos.

$\frac{1}{3} t^{2} \sin (3 t) + \frac{2}{9} t \cos (3 t) - \frac{2}{27} \sin (3 t) + \frac{1}{3} t \sin (3 t) + \frac{1}{9} \cos (3 t) + C$