Cálculo Exemplos

$\int e^{8 x} + e^{- 9 x} d x$

Etapa 1

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{8 x} d x + \int e^{- 9 x} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 8 x$ . Depois, $d u_{1} = 8 d x$ , então, $\frac{1}{8} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 8 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 2.1.2

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $8$ por $1$ .

$8$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Etapa 3

Combine $e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{8}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{8} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{- 9 x} d x$

Etapa 5

A integral de $e^{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{- 9 x} d x$

Etapa 6

Deixe $u_{2} = - 9 x$ . Depois, $d u_{2} = - 9 d x$ , então, $- \frac{1}{9} d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u_{2} = - 9 x$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $- 9 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 9 x]$

Etapa 6.1.2

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 9 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 9 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$- 9$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 9} d u_{2}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{9}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Combine $e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{9}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) + \int - \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \int \frac{e^{u_{2}}}{9} d u_{2}$

Etapa 9

Como $\frac{1}{9}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{9}$ para fora da integral.

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - (\frac{1}{9} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Etapa 10

A integral de $e^{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{8} (e^{u_{1}} + C) - \frac{1}{9} (e^{u_{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

$\frac{1}{8} e^{u_{1}} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

Etapa 12

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 12.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x$ .

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{u_{2}} + C$

Etapa 12.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 9 x$ .

$\frac{1}{8} e^{8 x} - \frac{1}{9} e^{- 9 x} + C$