Cálculo Exemplos

$\int {(1 + \sin (x))}^{\frac{5}{2}} \cos (x) d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + \sin (x)$ . Depois, $d u = \cos (x) d x$ , então, $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + \sin (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + \sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \sin (x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.1.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$0 + \cos (x)$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{\frac{5}{2}} d u$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{5}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + \sin (x)$ .

$\frac{2}{7} {(1 + \sin (x))}^{\frac{7}{2}} + C$