Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{2} - x + 4}{x^{3} + 4 x} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3} + 4 x$ .

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Etapa 1.1.1.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + 4 x}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $x$ de $4 x$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x \cdot x^{2} + x \cdot 4}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot 4$ .

$\frac{2 x^{2} - x + 4}{x (x^{2} + 4)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator é de 2ª ordem, os termos de $2$ são necessários no numerador. O número de termos necessários no numerador é sempre igual à ordem do fator no denominador.

$\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x^{2} + 4)$ .

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.4

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x (x^{2} + 4))}{x (x^{2} + 4)} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(2 x^{2} - x + 4) (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.5.2

Divida $2 x^{2} - x + 4$ por $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 1.1.6.1.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - x + 4 = \frac{A (x (x^{2} + 4))}{x} + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.1.2

Divida $A (x^{2} + 4)$ por $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A (x^{2} + 4) + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + A \cdot 4 + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.3

Mova $4$ para a esquerda de $A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 \cdot A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.4

Cancele o fator comum de $x^{2} + 4$ .

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Etapa 1.1.6.4.1

Cancele o fator comum.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + \frac{(B x + C) (x (x^{2} + 4))}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.1.6.4.2

Divida $(B x + C) (x)$ por $1$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + (B x + C) (x)$

Etapa 1.1.6.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x \cdot x + C x$

Etapa 1.1.6.6

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.6.6.1

Mova $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B (x \cdot x) + C x$

Etapa 1.1.6.6.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + 4 A + B x^{2} + C x$

Etapa 1.1.7

Mova $4 A$ .

$2 x^{2} - x + 4 = A x^{2} + B x^{2} + C x + 4 A$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$2 = A + B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = C$

Etapa 1.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = 4 A$

Etapa 1.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

$2 = A + B$

$- 1 = C$

$4 = 4 A$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 1.3.1

Reescreva a equação como $C = - 1$ .

$C = - 1$

$2 = A + B$

$4 = 4 A$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $- 1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.2.1

Reescreva a equação como $4 A = 4$ .

$4 A = 4$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.2

Divida cada termo em $4 A = 4$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 1.3.2.2.1

Divida cada termo em $4 A = 4$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 1.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 A}{4} = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = \frac{4}{4}$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.2.2.3.1

Divida $4$ por $4$ .

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = A + B$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1$ em cada equação.

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Etapa 1.3.3.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $2 = A + B$ por $1$ .

$2 = (1) + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Etapa 1.3.3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.3.2.1

Remova os parênteses.

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

$2 = 1 + B$

$A = 1$

$C = - 1$

Etapa 1.3.4

Resolva $B$ em $2 = 1 + B$ .

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Etapa 1.3.4.1

Reescreva a equação como $1 + B = 2$ .

$1 + B = 2$

$A = 1$

$C = - 1$

Etapa 1.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

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Etapa 1.3.4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$B = 2 - 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Etapa 1.3.4.2.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

$B = 1$

$A = 1$

$C = - 1$

Etapa 1.3.5

Resolva o sistema de equações.

$B = 1 A = 1 C = - 1$

Etapa 1.3.6

Liste todas as soluções.

$B = 1, A = 1, C = - 1$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B x + C}{x^{2} + 4}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$\frac{1}{x} + \frac{1 x - 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Remova os parênteses.

$\frac{1}{x} + \frac{(1) \cdot x - 1}{x^{2} + 4}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\int \frac{1}{x} + \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{1}{x} d x + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 3

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x - 1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 4

Divida a fração $\frac{x - 1}{x^{2} + 4}$ em duas frações.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} + \frac{- 1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (| x |) + C + \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 7

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Depois, $d u = 2 x d x$ , então, $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 7.1

Deixe $u = x^{2} + 4$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 7.1.1

Diferencie $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Etapa 7.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 7.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 7.1.4

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 0$

Etapa 7.1.5

Some $2 x$ e $0$ .

$2 x$

Etapa 7.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{u \cdot 2} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 8.2

Mova $2$ para a esquerda de $u$ .

$\ln (| x |) + C + \int \frac{1}{2 u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 9

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 10

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) + \int - \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{x^{2} + 4} d x$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Reordene $x^{2}$ e $4$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{4 + x^{2}} d x$

Etapa 12.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - \int \frac{1}{2^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{2^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{1}{2} \arctan (\frac{x}{2}) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\arctan (\frac{x}{2})$ .

$\ln (| x |) + C + \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C) - (\frac{\arctan (\frac{x}{2})}{2} + C)$

Etapa 14.2

Simplifique.

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| u |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$

Etapa 15

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 4$ .

$\ln (| x |) + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) - \frac{1}{2} \arctan (\frac{1}{2} x) + C$