Cálculo Exemplos

$\int (x - 1) \sin (π x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = x - 1$ e $d v = \sin (π x)$ .

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - \int - \frac{1}{π} \cos (π x) d x$

Etapa 2

Como $- \frac{1}{π}$ é constante com relação a $x$ , mova $- \frac{1}{π}$ para fora da integral.

$(x - 1) (- \frac{1}{π} \cos (π x)) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\cos (π x)$ e $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) - (- \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + 1 (\frac{1}{π} \int \cos (π x) d x)$

Etapa 3.3

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (π x) d x$

Etapa 4

Deixe $u = π x$ . Depois, $d u = π d x$ , então, $\frac{1}{π} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u = π x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $π x$ .

$\frac{d}{d x} [π x]$

Etapa 4.1.2

Como $π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $π x$ em relação a $x$ é $π \frac{d}{d x} [x]$ .

$π \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$π \cdot 1$

Etapa 4.1.4

Multiplique $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \cos (u) \frac{1}{π} d u$

Etapa 5

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} \int \frac{\cos (u)}{π} d u$

Etapa 6

Como $\frac{1}{π}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{π}$ para fora da integral.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π} (\frac{1}{π} \int \cos (u) d u)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{π}$ por $\frac{1}{π}$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π π} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.2

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.3

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1} π^{1}} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{1 + 1}} \int \cos (u) d u$

Etapa 7.5

Some $1$ e $1$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} \int \cos (u) d u$

Etapa 8

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

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Etapa 9.1

Reescreva $(x - 1) (- \frac{\cos (π x)}{π}) + \frac{1}{π^{2}} (\sin (u) + C)$ como $- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$ .

$- x \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Etapa 9.2

Combine $\frac{\cos (π x)}{π}$ e $x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (u) + C$

Etapa 10

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $π x$ .

$- \frac{\cos (π x) x}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Reordene os fatores em $\frac{\cos (π x) x}{π}$ .

$- \frac{x \cos (π x)}{π} + \frac{\cos (π x)}{π} + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$

Etapa 11.2

Reordene os termos.

$- \frac{1}{π} x \cos (π x) + \frac{1}{π} \cos (π x) + \frac{1}{π^{2}} \sin (π x) + C$