Cálculo Exemplos

$\int \frac{e^{r}}{1 + e^{r}} d r$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + e^{r}$ . Depois, $d u = e^{r} d r$ , então, $\frac{1}{e^{r}} d u = d r$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + e^{r}$ . Encontre $\frac{d u}{d r}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + e^{r}$ .

$\frac{d}{d r} [1 + e^{r}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{r}$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [e^{r}]$ .

$\frac{d}{d r} [1] + \frac{d}{d r} [e^{r}]$

Etapa 1.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $1$ em relação a $r$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [e^{r}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d r} [a^{r}]$ é $a^{r} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$0 + e^{r}$

Etapa 1.1.4

Some $0$ e $e^{r}$ .

$e^{r}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Etapa 2

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + e^{r}$ .

$\ln (| 1 + e^{r} |) + C$