Cálculo Exemplos

$\int {(\csc (x) - \tan (x))}^{2} d x$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\csc (x) - \tan (x))}^{2}$ como $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ .

$\int (\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Etapa 1.2

Expanda $(\csc (x) - \tan (x)) (\csc (x) - \tan (x))$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \csc (x) (\csc (x) - \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) (\csc (x) - \tan (x)) d x$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \csc (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $\csc (x) \csc (x)$ .

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Etapa 1.3.1.1.1

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.1.2

Eleve $\csc (x)$ à potência de $1$ .

$\int \csc^{1} (x) \csc^{1} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.1.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int {\csc (x)}^{1 + 1} + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.1.4

Some $1$ e $1$ .

$\int \csc^{2} (x) + \csc (x) (- \tan (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.1.2.1

Reordene $\csc (x)$ e $- \tan (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.2.2

Adicione parênteses.

$\int \csc^{2} (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.2.3

Reescreva $\csc (x) (- \tan (x))$ em termos de senos e cossenos.

$\int \csc^{2} (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.2.4

Cancele os fatores comuns.

$\int \csc^{2} (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.3

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \tan (x) \csc (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.1.4.1

Adicione parênteses.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\tan (x) \csc (x)) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.4.2

Reescreva $- \tan (x) \csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.4.3

Cancele os fatores comuns.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \frac{1}{\cos (x)} - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) - \tan (x) (- \tan (x)) d x$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $- \tan (x) (- \tan (x))$ .

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Etapa 1.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + 1 \tan (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.3.1.6.2

Multiplique $\tan (x)$ por $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.3.1.6.3

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) d x$

Etapa 1.3.1.6.4

Eleve $\tan (x)$ à potência de $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) d x$

Etapa 1.3.1.6.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} d x$

Etapa 1.3.1.6.6

Some $1$ e $1$ .

$\int \csc^{2} (x) - \sec (x) - \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Etapa 1.3.2

Subtraia $\sec (x)$ de $- \sec (x)$ .

$\int \csc^{2} (x) - 2 \sec (x) + \tan^{2} (x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \csc^{2} (x) d x + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Etapa 3

Como a derivada de $- \cot (x)$ é $\csc^{2} (x)$ , a integral de $\csc^{2} (x)$ é $- \cot (x)$ .

$- \cot (x) + C + \int - 2 \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Etapa 4

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$- \cot (x) + C - 2 \int \sec (x) d x + \int \tan^{2} (x) d x$

Etapa 5

A integral de $\sec (x)$ com relação a $x$ é $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \tan^{2} (x) d x$

Etapa 6

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 + \sec^{2} (x) d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int - 1 d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \int \sec^{2} (x) d x$

Etapa 9

Como a derivada de $\tan (x)$ é $\sec^{2} (x)$ , a integral de $\sec^{2} (x)$ é $\tan (x)$ .

$- \cot (x) + C - 2 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - x + C + \tan (x) + C$

Etapa 10

Simplifique.

$- \cot (x) - 2 \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) - x + \tan (x) + C$