Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local sin(x)+cos(x)
Etapa 1
Escreva como uma função.
Etapa 2
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 2.3
A derivada de em relação a é .
Etapa 3
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 3.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 3.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 3.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 3.3.2
A derivada de em relação a é .
Etapa 4
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 5
Divida cada termo na equação por .
Etapa 6
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
Cancele o fator comum.
Etapa 6.2
Reescreva a expressão.
Etapa 7
Separe as frações.
Etapa 8
Converta de em .
Etapa 9
Divida por .
Etapa 10
Separe as frações.
Etapa 11
Converta de em .
Etapa 12
Divida por .
Etapa 13
Multiplique por .
Etapa 14
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 15
Divida cada termo em por e simplifique.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Divida cada termo em por .
Etapa 15.2
Simplifique o lado esquerdo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1
Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.
Etapa 15.2.2
Divida por .
Etapa 15.3
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.3.1
Divida por .
Etapa 16
Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair de dentro da tangente.
Etapa 17
Simplifique o lado direito.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 17.1
O valor exato de é .
Etapa 18
A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de para determinar a solução no quarto quadrante.
Etapa 19
Simplifique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.1
Para escrever como fração com um denominador comum, multiplique por .
Etapa 19.2
Combine frações.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.2.1
Combine e .
Etapa 19.2.2
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 19.3
Simplifique o numerador.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 19.3.1
Mova para a esquerda de .
Etapa 19.3.2
Some e .
Etapa 20
A solução para a equação .
Etapa 21
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 22
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 22.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 22.1.1
O valor exato de é .
Etapa 22.1.2
O valor exato de é .
Etapa 22.2
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 22.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 22.2.2
Subtraia de .
Etapa 22.2.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 22.2.3.1
Fatore de .
Etapa 22.2.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 22.2.3.2.1
Fatore de .
Etapa 22.2.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 22.2.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 22.2.3.2.4
Divida por .
Etapa 23
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 24
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 24.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 24.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 24.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 24.2.1.1
O valor exato de é .
Etapa 24.2.1.2
O valor exato de é .
Etapa 24.2.2
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 24.2.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 24.2.2.2
Some e .
Etapa 24.2.2.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 24.2.2.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 24.2.2.3.2
Divida por .
Etapa 24.2.3
A resposta final é .
Etapa 25
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 26
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 26.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 26.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.
Etapa 26.1.2
O valor exato de é .
Etapa 26.1.3
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 26.1.3.1
Multiplique por .
Etapa 26.1.3.2
Multiplique por .
Etapa 26.1.4
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.
Etapa 26.1.5
O valor exato de é .
Etapa 26.1.6
Multiplique .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 26.1.6.1
Multiplique por .
Etapa 26.1.6.2
Multiplique por .
Etapa 26.2
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 26.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 26.2.2
Some e .
Etapa 26.2.3
Cancele o fator comum de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 26.2.3.1
Cancele o fator comum.
Etapa 26.2.3.2
Divida por .
Etapa 27
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 28
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 28.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 28.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 28.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 28.2.1.1
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no terceiro quadrante.
Etapa 28.2.1.2
O valor exato de é .
Etapa 28.2.1.3
Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no terceiro quadrante.
Etapa 28.2.1.4
O valor exato de é .
Etapa 28.2.2
Simplifique os termos.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 28.2.2.1
Combine os numeradores em relação ao denominador comum.
Etapa 28.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 28.2.2.3
Cancele o fator comum de e .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 28.2.2.3.1
Fatore de .
Etapa 28.2.2.3.2
Cancele os fatores comuns.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 28.2.2.3.2.1
Fatore de .
Etapa 28.2.2.3.2.2
Cancele o fator comum.
Etapa 28.2.2.3.2.3
Reescreva a expressão.
Etapa 28.2.2.3.2.4
Divida por .
Etapa 28.2.3
A resposta final é .
Etapa 29
Esses são os extremos locais para .
é um máximo local
é um mínimo local
Etapa 30