Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Etapa 1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.3.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.3

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.3.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0 + \tan (0)}$

Etapa 1.3.4

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.4.1

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Etapa 1.3.4.2

Some $0$ e $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x + \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x + \tan (x)]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + \tan (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.5

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{1 + \sec^{2} (x)}$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sec^{2} (x)}$

Etapa 6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 7

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{\cos (lim_{x \to 0} x)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 10

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 10.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 10.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\cos (0)}{1 + \sec^{2} (0)}$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{1 + \sec^{2} (0)}$

Etapa 11.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\sec (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{1 + 1^{2}}$

Etapa 11.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1 + 1}$

Etapa 11.2.3

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2}$