Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 1.2.3.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 1.3.3.2

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 7 x$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $7 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.3

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) (7 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.5

Multiplique $7$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.6

Mova $7$ para a esquerda de $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.7

Multiplique $7$ por $\cos (7 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 3 x$ .

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Etapa 3.8.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.8.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.8.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Etapa 3.9

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)}$

Etapa 3.11

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Etapa 3.12

Mova $3$ para a esquerda de $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \cdot \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 3.13

Multiplique $3$ por $\sec^{2} (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 4

Mova o termo $\frac{7}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{3} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x)}{\sec^{2} (3 x)}$

Etapa 5

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 7

Mova o termo $7$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Etapa 8

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Etapa 9

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Etapa 10

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 lim_{x \to 0} x)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 11

Avalie os limites substituindo $0$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{7}{3} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 12

Simplifique a resposta.

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Etapa 12.1

Combine.

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 \sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Etapa 12.2

Fatore $\sec (3 \cdot 0)$ de $\sec^{2} (3 \cdot 0)$ .

$\frac{7 \cos (7 \cdot 0)}{3 (\sec (3 \cdot 0) \sec (3 \cdot 0))}$

Etapa 12.3

Separe as frações.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\sec (3 \cdot 0)}$

Etapa 12.4

Reescreva $\sec (3 \cdot 0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} \cdot \frac{\cos (7 \cdot 0)}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}}$

Etapa 12.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ .

$\frac{7}{3 (\sec (3 \cdot 0))} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Etapa 12.6

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (7 \cdot 0) \cos (3 \cdot 0))$

Etapa 12.7

Multiplique $7$ por $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (3 \cdot 0))$

Etapa 12.8

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{7}{3 \sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 12.9

Separe as frações.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\sec (0)} (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 12.10

Reescreva $\sec (0)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{7}{3} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}} (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 12.11

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

$\frac{7}{3} (1 \cos (0)) (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 12.12

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$\frac{7}{3} \cos (0) (\cos (0) \cos (0))$

Etapa 12.13

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos (0)$ somando os expoentes.

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Etapa 12.13.1

Mova $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos (0)) \cos (0)$

Etapa 12.13.2

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} \cos^{2} (0) \cos (0)$

Etapa 12.14

Multiplique $\cos^{2} (0)$ por $\cos (0)$ somando os expoentes.

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Etapa 12.14.1

Mova $\cos (0)$ .

$\frac{7}{3} (\cos (0) \cos^{2} (0))$

Etapa 12.14.2

Multiplique $\cos (0)$ por $\cos^{2} (0)$ .

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Etapa 12.14.2.1

Eleve $\cos (0)$ à potência de $1$ .

$\frac{7}{3} (\cos^{1} (0) \cos^{2} (0))$

Etapa 12.14.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{7}{3} {\cos (0)}^{1 + 2}$

Etapa 12.14.3

Some $1$ e $2$ .

$\frac{7}{3} \cos^{3} (0)$

Etapa 12.15

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{7}{3} \cdot 1^{3}$

Etapa 12.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{7}{3} \cdot 1$

Etapa 12.17

Multiplique $\frac{7}{3}$ por $1$ .

$\frac{7}{3}$