Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Etapa 1.3.3

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Etapa 3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Etapa 4.3

Mova o expoente $2$ de $\sec^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Etapa 4.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a secante é contínua.

$\frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 5

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Etapa 6

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$

Etapa 6.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (0)}$ como ${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sec (0)})}^{2}$

Etapa 6.3

Reescreva $\sec (0)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\frac{1}{\cos (0)}})}^{2}$

Etapa 6.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (0)}$ .

${(1 \cos (0))}^{2}$

Etapa 6.5

Multiplique $\cos (0)$ por $1$ .

$\cos^{2} (0)$

Etapa 6.6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1^{2}$

Etapa 6.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$1$