Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2.1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.3.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.5

Some $0$ e $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Etapa 3.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (x)$

Etapa 5

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\tan (lim_{x \to 0} x)$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\tan (0)$

Etapa 7

O valor exato de $\tan (0)$ é $0$ .

$0$