Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} \ln (x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 1} x^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\ln ({(lim_{x \to 1} x)}^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{\ln (1^{2})}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{\ln (x^{2})}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.4

Combine $2$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.5

Combine $\frac{2}{x^{2}}$ e $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2 x}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 3.6.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{x \cdot 2}{x \cdot x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.6.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 3.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x + 0}$

Etapa 3.10

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{2}{x}}{2 x}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{2 x}$

Etapa 5

Combine os fatores.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{2}{x}$ por $\frac{1}{2 x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{x (2 x)}$

Etapa 5.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x)}$

Etapa 5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 (x^{1} x^{1})}$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{1 + 1}}$

Etapa 5.5

Some $1$ e $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Etapa 6

Avalie o limite.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 1} \frac{2}{2 x^{2}}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 6.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 6.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 1} x^{2}}$

Etapa 6.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2}}$

Etapa 7

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1}{1^{2}}$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{1}$

Etapa 8.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$