Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.2.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} x + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{\ln (0 + 1)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.3.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.2.3.2

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (x + 1)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (x + 1)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.7

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 1}}{1}$

Etapa 4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1} \cdot 1$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{x + 1}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 1}$

Etapa 5.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 5.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 5.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1}$

Etapa 5.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x + 1}$

Etapa 6

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{1}$

Etapa 7.2

Divida $1$ por $1$ .

$1$