Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{8} k (6 k + 7)$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k (6 k) + k \cdot 7$

Etapa 1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 k \cdot k + k \cdot 7$

Etapa 1.3

Mova $7$ para a esquerda de $k$ .

$6 k \cdot k + 7 \cdot k$

Etapa 1.4

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Mova $k$ .

$6 (k \cdot k) + 7 \cdot k$

Etapa 1.4.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$6 k^{2} + 7 \cdot k$

$6 k^{2} + 7 k$

Etapa 1.5

Reescreva a soma.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{8} 6 k^{2} + 7 k = 6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2} + 7 \sum_{k = 1}^{8} k$

Etapa 3

Avalie $6 \sum_{k = 1}^{8} k^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(6) (\frac{8 (8 + 1) (2 \cdot 8 + 1)}{6})$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $8$ e $1$ .

$6 \frac{8 \cdot 9 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Multiplique $8$ por $9$ .

$6 \frac{72 (2 \cdot 8 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$6 \frac{72 (16 + 1)}{6}$

Etapa 3.3.1.3

Some $16$ e $1$ .

$6 \frac{72 \cdot 17}{6}$

Etapa 3.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $72$ por $17$ .

$6 (\frac{1224}{6})$

Etapa 3.3.2.2

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$6 (\frac{1224}{6})$

Etapa 3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1224$

Etapa 4

Avalie $7 \sum_{k = 1}^{8} k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(7) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Some $8$ e $1$ .

$7 \frac{8 \cdot 9}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $8$ por $9$ .

$7 (\frac{72}{2})$

Etapa 4.3.3

Divida $72$ por $2$ .

$7 \cdot 36$

Etapa 4.3.4

Multiplique $7$ por $36$ .

$252$

Etapa 5

Adicione os resultados das somas.

$1224 + 252$

Etapa 6

Some $1224$ e $252$ .

$1476$