Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{1}{7})}^{k}$

Etapa 1

Expanda a série para cada valor de $k$ .

${(- \frac{1}{7})}^{1} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Simplifique.

$- \frac{1}{7} + {(- \frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} {(\frac{1}{7})}^{2} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + {(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{7} + 1 \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{1^{2}}{7^{2}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1^{2}}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{7^{2}} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.6

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- \frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} {(\frac{1}{7})}^{3} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + {(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1^{3}}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{7^{3}} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.10

Eleve $7$ à potência de $3$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- \frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.11

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 2.1.11.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} {(\frac{1}{7})}^{4}$

Etapa 2.1.11.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{7}$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + {(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Etapa 2.1.12

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + 1 \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Etapa 2.1.13

Multiplique $\frac{1^{4}}{7^{4}}$ por $1$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1^{4}}{7^{4}}$

Etapa 2.1.14

Um elevado a qualquer potência é um.

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{7^{4}}$

Etapa 2.1.15

Eleve $7$ à potência de $4$ .

$- \frac{1}{7} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{343}{343}$ .

$- (\frac{1}{7} \cdot \frac{343}{343}) + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.2

Multiplique $\frac{1}{7}$ por $\frac{343}{343}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.3

Multiplique $\frac{1}{49}$ por $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{1}{49} \cdot \frac{49}{49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\frac{1}{49}$ por $\frac{49}{49}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{1}{343} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.5

Multiplique $\frac{1}{343}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - (\frac{1}{343} \cdot \frac{7}{7}) + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.6

Multiplique $\frac{1}{343}$ por $\frac{7}{7}$ .

$- \frac{343}{7 \cdot 343} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.7

Multiplique $7$ por $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{49 \cdot 49} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.8

Multiplique $49$ por $49$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{343 \cdot 7} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.9

Reordene os fatores de $343 \cdot 7$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{7 \cdot 343} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.2.10

Multiplique $7$ por $343$ .

$- \frac{343}{2401} + \frac{49}{2401} - \frac{7}{2401} + \frac{1}{2401}$

Etapa 2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 343 + 49 - 7 + 1}{2401}$

Etapa 2.4

Some $- 343$ e $49$ .

$\frac{- 294 - 7 + 1}{2401}$

Etapa 2.5

Subtraia $7$ de $- 294$ .

$\frac{- 301 + 1}{2401}$

Etapa 2.6

Some $- 301$ e $1$ .

$\frac{- 300}{2401}$

Etapa 2.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{300}{2401}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{300}{2401}$

Forma decimal:

$- 0.12494793 \dots$