Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{30} k (k - 2) (k + 2)$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(k \cdot k + k \cdot - 2) (k + 2)$

Etapa 1.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$(k^{2} + k \cdot - 2) (k + 2)$

Etapa 1.3

Mova $- 2$ para a esquerda de $k$ .

$(k^{2} - 2 \cdot k) (k + 2)$

Etapa 1.4

Expanda $(k^{2} - 2 k) (k + 2)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$k^{2} (k + 2) - 2 k (k + 2)$

Etapa 1.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k (k + 2)$

Etapa 1.4.3

Aplique a propriedade distributiva.

$k^{2} k + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Multiplique $k^{2}$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1.1

Multiplique $k^{2}$ por $k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1.1.1

Eleve $k$ à potência de $1$ .

$k^{2} k^{1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$k^{2 + 1} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5.1.1.2

Some $2$ e $1$ .

$k^{3} + k^{2} \cdot 2 - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $k^{2}$ .

$k^{3} + 2 \cdot k^{2} - 2 k \cdot k - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5.1.3

Multiplique $k$ por $k$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.3.1

Mova $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 (k \cdot k) - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5.1.3.2

Multiplique $k$ por $k$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 2 k \cdot 2$

Etapa 1.5.1.4

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$k^{3} + 2 k^{2} - 2 k^{2} - 4 k$

Etapa 1.5.2

Subtraia $2 k^{2}$ de $2 k^{2}$ .

$k^{3} + 0 - 4 k$

Etapa 1.5.3

Some $k^{3}$ e $0$ .

$k^{3} - 4 k$

Etapa 1.6

Reescreva a soma.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 k = \sum_{k = 1}^{30} k^{3} - 4 \sum_{k = 1}^{30} k$

Etapa 3

Avalie $\sum_{k = 1}^{30} k^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $3$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{30^{2} {(30 + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $30$ e $1$ .

$\frac{30^{2} \cdot 31^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $30$ à potência de $2$ .

$\frac{900 \cdot 31^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Eleve $31$ à potência de $2$ .

$\frac{900 \cdot 961}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $900$ por $961$ .

$\frac{864900}{4}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $864900$ por $4$ .

$216225$

Etapa 4

Avalie $4 \sum_{k = 1}^{30} k$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 4) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $30$ e $1$ .

$- 4 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $30$ por $31$ .

$- 4 (\frac{930}{2})$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$2 (- 2) \frac{930}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 2 \frac{930}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 2 \cdot 930$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 2$ por $930$ .

$- 1860$

Etapa 5

Adicione os resultados das somas.

$216225 - 1860$

Etapa 6

Subtraia $1860$ de $216225$ .

$214365$