Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 0}^{10} 4 {(\frac{1}{2})}^{k}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{4 {(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{4 {(\frac{1}{2})}^{k}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k + 1}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ e ${(\frac{1}{2})}^{k}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(\frac{1}{2})}^{k}$ de ${(\frac{1}{2})}^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(\frac{1}{2})}^{k} \frac{1}{2}}{{(\frac{1}{2})}^{k} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{\frac{1}{2}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$r = \frac{1}{2}$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $0$ por $k$ em $4 {(\frac{1}{2})}^{k}$ .

$a = 4 {(\frac{1}{2})}^{0}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$a = 4 \frac{1^{0}}{2^{0}}$

Etapa 3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 4 \frac{1}{2^{0}}$

Etapa 3.2.3

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.4

Cancele o fator comum de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.4.1

Cancele o fator comum.

$a = 4 (\frac{1}{1})$

Etapa 3.2.4.2

Reescreva a expressão.

$a = 4 \cdot 1$

Etapa 3.2.5

Multiplique $4$ por $1$ .

$a = 4$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$4 \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Multiplique $\frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}}$ por $\frac{2}{2}$ .

$4 (\frac{2}{2} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{11}}{1 - \frac{1}{2}})$

Etapa 5.1.2

Combine.

$4 \frac{2 (1 - {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 (1 - \frac{1}{2})}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (- \frac{1}{2})}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Etapa 5.3.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

Etapa 5.3.3

Reescreva a expressão.

$4 \frac{2 \cdot 1 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 \frac{2 + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{11})}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$4 \frac{2 + 2 (- \frac{1^{11}}{2^{11}})}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1^{11}}{2^{11}}$ para o numerador.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2^{11}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $2$ de $2^{11}$ .

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Cancele o fator comum.

$4 \frac{2 + 2 \frac{- 1^{11}}{2 \cdot 2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.3.4

Reescreva a expressão.

$4 \frac{2 + \frac{- 1^{11}}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{2^{10}}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.5

Eleve $2$ à potência de $10$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1 \cdot 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 \frac{2 + \frac{- 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \frac{2 - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.8

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{2 \cdot \frac{1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.9

Combine $2$ e $\frac{1024}{1024}$ .

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024}{1024} - \frac{1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{\frac{2 \cdot 1024 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.11

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.11.1

Multiplique $2$ por $1024$ .

$4 \frac{\frac{2048 - 1}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.4.11.2

Subtraia $1$ de $2048$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 \cdot 1 - 1}$

Etapa 5.5

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{2 - 1}$

Etapa 5.5.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$4 \frac{\frac{2047}{1024}}{1}$

Etapa 5.6

Divida $\frac{2047}{1024}$ por $1$ .

$4 (\frac{2047}{1024})$

Etapa 5.7

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Fatore $4$ de $1024$ .

$4 \frac{2047}{4 (256)}$

Etapa 5.7.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{2047}{4 \cdot 256}$

Etapa 5.7.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2047}{256}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{2047}{256}$

Forma decimal:

$7.99609375$

Forma de número misto:

$7 \frac{255}{256}$