Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{22} i {(i - 1)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(i - 1)}^{2}$ como $(i - 1) (i - 1)$ .

$i ((i - 1) (i - 1))$

Etapa 1.2

Expanda $(i - 1) (i - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$i (i (i - 1) - 1 (i - 1))$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1))$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$i (i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $i$ por $i$ .

$i (i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $i$ .

$i (i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$i (i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$i (i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1)$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$i (i^{2} - i - i + 1)$

Etapa 1.3.2

Subtraia $i$ de $- i$ .

$i (i^{2} - 2 i + 1)$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$i \cdot i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $i$ por $i^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1

Multiplique $i$ por $i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1.1.1

Eleve $i$ à potência de $1$ .

$i^{1} i^{2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Etapa 1.5.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$i^{1 + 2} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Etapa 1.5.1.2

Some $1$ e $2$ .

$i^{3} + i (- 2 i) + i \cdot 1$

Etapa 1.5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$i^{3} - 2 i \cdot i + i \cdot 1$

Etapa 1.5.3

Multiplique $i$ por $1$ .

$i^{3} - 2 i \cdot i + i$

Etapa 1.6

Multiplique $i$ por $i$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Mova $i$ .

$i^{3} - 2 (i \cdot i) + i$

Etapa 1.6.2

Multiplique $i$ por $i$ .

$i^{3} - 2 i^{2} + i$

Etapa 1.7

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 i^{2} + i = \sum_{i = 1}^{22} i^{3} - 2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2} + \sum_{i = 1}^{22} i$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{22} i^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $3$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{3} = \frac{n^{2} {(n + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{22^{2} {(22 + 1)}^{2}}{4}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Some $22$ e $1$ .

$\frac{22^{2} \cdot 23^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.2

Eleve $22$ à potência de $2$ .

$\frac{484 \cdot 23^{2}}{4}$

Etapa 3.3.1.3

Eleve $23$ à potência de $2$ .

$\frac{484 \cdot 529}{4}$

Etapa 3.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $484$ por $529$ .

$\frac{256036}{4}$

Etapa 3.3.2.2

Divida $256036$ por $4$ .

$64009$

Etapa 4

Avalie $2 \sum_{i = 1}^{22} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 2) (\frac{22 (22 + 1) (2 \cdot 22 + 1)}{6})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $22$ e $1$ .

$- 2 \frac{22 \cdot 23 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.2.1

Multiplique $22$ por $23$ .

$- 2 \frac{506 (2 \cdot 22 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $22$ .

$- 2 \frac{506 (44 + 1)}{6}$

Etapa 4.3.1.3

Some $44$ e $1$ .

$- 2 \frac{506 \cdot 45}{6}$

Etapa 4.3.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Multiplique $506$ por $45$ .

$- 2 (\frac{22770}{6})$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{22770}{6}$

Etapa 4.3.2.2.2

Fatore $2$ de $6$ .

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{22770}{2 \cdot 3}$

Etapa 4.3.2.2.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (\frac{22770}{3})$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Divida $22770$ por $3$ .

$- 1 \cdot 7590$

Etapa 4.3.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $7590$ .

$- 7590$

Etapa 5

Avalie $\sum_{i = 1}^{22} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{22 (22 + 1)}{2}$

Etapa 5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $22$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Fatore $2$ de $22 (22 + 1)$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2}$

Etapa 5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 (1)}$

Etapa 5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (11 (22 + 1))}{2 \cdot 1}$

Etapa 5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11 (22 + 1)}{1}$

Etapa 5.3.1.2.4

Divida $11 (22 + 1)$ por $1$ .

$11 (22 + 1)$

Etapa 5.3.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Some $22$ e $1$ .

$11 \cdot 23$

Etapa 5.3.2.2

Multiplique $11$ por $23$ .

$253$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$64009 - 7590 + 253$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $7590$ de $64009$ .

$56419 + 253$

Etapa 7.2

Some $56419$ e $253$ .

$56672$