Cálculo Exemplos

$\sum_{k = 1}^{6} {(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{k + 1}}{a_{k}}$ e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua $a_{k}$ e $a_{k + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de ${(- 1)}^{k + 1}$ e ${(- 1)}^{k}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Fatore ${(- 1)}^{k}$ de ${(- 1)}^{k + 1} \cdot 3^{k + 1}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Etapa 2.2.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1

Fatore ${(- 1)}^{k}$ de ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ .

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} (3^{k})}$

Etapa 2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- 1)}^{k} (- 3^{k + 1})}{{(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}}$

Etapa 2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{- 3^{k + 1}}{3^{k}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $3^{k + 1}$ e $3^{k}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Fatore $3^{k}$ de $- 3^{k + 1}$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{3^{k} (- 1 \cdot 3)}{3^{k} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{- 1 \cdot 3}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida $- 1 \cdot 3$ por $1$ .

$r = - 1 \cdot 3$

Etapa 2.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$r = - 3$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $1$ por $k$ em ${(- 1)}^{k} \cdot 3^{k}$ .

$a = {(- 1)}^{1} \cdot 3^{1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Avalie o expoente.

$a = - 1 \cdot 3^{1}$

Etapa 3.2.2

Avalie o expoente.

$a = - 1 \cdot 3$

Etapa 3.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$a = - 3$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$- 3 \frac{1 - {(- 3)}^{6}}{1 - - 3}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Eleve $- 3$ à potência de $6$ .

$- 3 \frac{1 - 1 \cdot 729}{1 - - 3}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $729$ .

$- 3 \frac{1 - 729}{1 - - 3}$

Etapa 5.1.3

Subtraia $729$ de $1$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 - - 3}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- 3 \frac{- 728}{1 + 3}$

Etapa 5.2.2

Some $1$ e $3$ .

$- 3 (\frac{- 728}{4})$

Etapa 5.3

Divida $- 728$ por $4$ .

$- 3 \cdot - 182$

Etapa 5.4

Multiplique $- 3$ por $- 182$ .

$546$