Cálculo Exemplos

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Etapa 1

Divida a soma para tornar o valor inicial de $j$ igual a $1$ .

$\sum_{j = 2}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = \sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} - \sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$

Etapa 2

Avalie $\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{j = 1}^{30} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3} = 6 \sum_{j = 1}^{30} j + \sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$

Etapa 2.2

Avalie $6 \sum_{j = 1}^{30} j$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 2.2.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(6) (\frac{30 (30 + 1)}{2})$

Etapa 2.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Some $30$ e $1$ .

$6 \frac{30 \cdot 31}{2}$

Etapa 2.2.3.1.2

Multiplique $30$ por $31$ .

$6 (\frac{930}{2})$

Etapa 2.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$2 (3) \frac{930}{2}$

Etapa 2.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 3 \frac{930}{2}$

Etapa 2.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$3 \cdot 930$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $3$ por $930$ .

$2790$

Etapa 2.3

Avalie $\sum_{j = 1}^{30} - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Fatore $- \frac{4}{3}$ da soma.

$(- \frac{4}{3}) \sum_{j = 1}^{30} j^{2}$

Etapa 2.3.2

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 2.3.3

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- \frac{4}{3}) (\frac{30 (30 + 1) (2 \cdot 30 + 1)}{6})$

Etapa 2.3.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.1

Some $30$ e $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{30 \cdot 31 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Etapa 2.3.4.1.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1.2.1

Multiplique $30$ por $31$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (2 \cdot 30 + 1)}{6}$

Etapa 2.3.4.1.2.2

Multiplique $2$ por $30$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 (60 + 1)}{6}$

Etapa 2.3.4.1.3

Some $60$ e $1$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{930 \cdot 61}{6}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $930$ por $61$ .

$- \frac{4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Etapa 2.3.4.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{3}$ para o numerador.

$\frac{- 4}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Etapa 2.3.4.2.2.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\frac{2 (- 2)}{3} \cdot \frac{56730}{6}$

Etapa 2.3.4.2.2.3

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.4.2.2.4

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot - 2}{3} \cdot \frac{56730}{2 \cdot 3}$

Etapa 2.3.4.2.2.5

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{56730}{3}$

Etapa 2.3.4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.3.1

Fatore $3$ de $56730$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 (18910)}{3}$

Etapa 2.3.4.2.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{3 \cdot 18910}{3}$

Etapa 2.3.4.2.3.3

Reescreva a expressão.

$- 2 (\frac{18910}{3})$

Etapa 2.3.4.2.4

Combine $- 2$ e $\frac{18910}{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot 18910}{3}$

Etapa 2.3.4.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.5.1

Multiplique $- 2$ por $18910$ .

$\frac{- 37820}{3}$

Etapa 2.3.4.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{37820}{3}$

Etapa 2.4

Adicione os resultados das somas.

$2790 - \frac{37820}{3}$

Etapa 2.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Para escrever $2790$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2790 \cdot \frac{3}{3} - \frac{37820}{3}$

Etapa 2.5.2

Combine $2790$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2790 \cdot 3}{3} - \frac{37820}{3}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2790 \cdot 3 - 37820}{3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $2790$ por $3$ .

$\frac{8370 - 37820}{3}$

Etapa 2.5.4.2

Subtraia $37820$ de $8370$ .

$\frac{- 29450}{3}$

Etapa 2.5.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{29450}{3}$

Etapa 3

Avalie $\sum_{j = 1}^{1} 6 j - \frac{4 j^{2}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Expanda a série para cada valor de $j$ .

$6 \cdot 1 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1.1

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 - \frac{4 \cdot 1^{2}}{3}$

Etapa 3.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$6 - \frac{4 \cdot 1}{3}$

Etapa 3.2.1.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$6 - \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.2

Para escrever $6$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$6 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.3

Combine $6$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Etapa 3.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{6 \cdot 3 - 4}{3}$

Etapa 3.2.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.5.1

Multiplique $6$ por $3$ .

$\frac{18 - 4}{3}$

Etapa 3.2.5.2

Subtraia $4$ de $18$ .

$\frac{14}{3}$

Etapa 4

Substitua as somas pelos valores encontrados.

$- \frac{29450}{3} - \frac{14}{3}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 29450 - 14}{3}$

Etapa 5.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Subtraia $14$ de $- 29450$ .

$\frac{- 29464}{3}$

Etapa 5.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{29464}{3}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{29464}{3}$

Forma decimal:

$- 9821.\overline{3}$

Forma de número misto:

$- 9821 \frac{1}{3}$