Cálculo Exemplos

$e^{r (θ - t)} S^{- 1}$

Etapa 1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)} \frac{1}{S}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Combine $e^{r (θ - t)}$ e $\frac{1}{S}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{e^{r (θ - t)}}{S}]$

Etapa 2.2

Como $\frac{1}{S}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ em relação a $t$ é $\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$ .

$\frac{1}{S} \frac{d}{d t} [e^{r (θ - t)}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = r (θ - t)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{S} (e^{u} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $r (θ - t)$ .

$\frac{1}{S} (e^{r (θ - t)} \frac{d}{d t} [r (θ - t)])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Combine $e^{r (θ - t)}$ e $\frac{1}{S}$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [r (θ - t)]$

Etapa 4.2

Como $r$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $r (θ - t)$ em relação a $t$ é $r \frac{d}{d t} [θ - t]$ .

$\frac{e^{r (θ - t)}}{S} (r \frac{d}{d t} [θ - t])$

Etapa 4.3

Combine $r$ e $\frac{e^{r (θ - t)}}{S}$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [θ - t]$

Etapa 4.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $θ - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (\frac{d}{d t} [θ] + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 4.5

Como $θ$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $θ$ em relação a $t$ é $0$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (0 + \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 4.6

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \frac{d}{d t} [- t]$

Etapa 4.7

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} (- 1 \cdot 1)$

Etapa 4.9

Combine frações.

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Etapa 4.9.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)}}{S} \cdot - 1$

Etapa 4.9.2

Combine $\frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$ e $- 1$ .

$\frac{r e^{r (θ - t)} \cdot - 1}{S}$

Etapa 4.9.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.9.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $r e^{r (θ - t)}$ .

$\frac{- 1 \cdot (r e^{r (θ - t)})}{S}$

Etapa 4.9.3.2

Reescreva $- 1 r$ como $- r$ .

$\frac{- r e^{r (θ - t)}}{S}$

Etapa 4.9.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{r e^{r (θ - t)}}{S}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- \frac{r e^{r θ + r (- t)}}{S}$

Etapa 5.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- \frac{r e^{r θ - r t}}{S}$