Cálculo Exemplos

$(x^{2} + y^{2}) \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2} + y^{2}$ e $g (x) = \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ .

$(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$(x^{2} + y^{2}) (\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + y^{2}}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 3

Reescreva $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ como ${(x^{2} + y^{2})}^{- 1}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} + y^{2})}^{- 1}] + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {u_{2}}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$(x^{2} + y^{2}) \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 5

Eleve $x^{2} + y^{2}$ à potência de $1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- ({(x^{2} + y^{2})}^{1} {(x^{2} + y^{2})}^{- 2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{1 - 2} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 7

Subtraia $2$ de $1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 10

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x + 0)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 11

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.1

Some $2 x$ e $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} (2 x)) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 11.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 14

Como $y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x + 0)$

Etapa 15

Some $2 x$ e $0$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 {(x^{2} + y^{2})}^{- 1} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 16

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- 2 \frac{1}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 17

Simplifique.

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Etapa 17.1

Combine os termos.

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Etapa 17.1.1

Combine $- 2$ e $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (\frac{- 2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 17.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2}{x^{2} + y^{2}} x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 17.1.3

Combine $x$ e $\frac{2}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{x \cdot 2}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 17.1.4

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (- \frac{2 \cdot x}{x^{2} + y^{2}}) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 17.1.5

Combine $\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}})$ e $\frac{2 x}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$

Etapa 17.1.6

Para escrever $\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x)}{x^{2} + y^{2}} + \frac{\sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.1.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.1.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- 2 \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) x + \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (2 x) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$

Etapa 17.2

Reordene os termos.

$\frac{- 2 x \cos (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) + 2 x \sin (\frac{1}{x^{2} + y^{2}}) (x^{2} + y^{2})}{x^{2} + y^{2}}$