Cálculo Exemplos

$\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sec^{4} (x) - \tan^{4} (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\sec^{4} (x)]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \sec (x)$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{4}] \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 {u_{1}}^{3} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{3} (x) (\sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2.3

Eleve $\sec (x)$ à potência de $1$ .

$4 (\sec^{1} (x) \sec^{3} (x)) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 {\sec (x)}^{1 + 3} \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $3$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \tan^{4} (x)]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \tan^{4} (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - \frac{d}{d x} [\tan^{4} (x)]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = \tan (x)$ .

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Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Etapa 3.3

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - (4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x))$

Etapa 3.4

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Fatore $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $4 \sec^{4} (x) \tan (x) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $4 \sec^{4} (x) \tan (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) - 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$

Etapa 4.1.2

Fatore $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $- 4 \tan^{3} (x) \sec^{2} (x)$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$

Etapa 4.1.3

Fatore $4 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x)) + 4 \sec^{2} (x) \tan (x) (- \tan^{2} (x))$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) (\sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))$

Etapa 4.2

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$4 \sec^{2} (x) \tan (x) \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 \sec^{2} (x) \tan (x)$