Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$

Etapa 1

Encontre onde a expressão $\frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ é indefinida.

$x = - \frac{5}{6}$

Etapa 2

Avalie $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 2.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2

Avalie o limite.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.2.2

Divida $10$ por $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.6

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + lim_{x \to \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.2.7

Mova o termo $11$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 2.4

Avalie o limite.

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Etapa 2.4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Etapa 2.4.2

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to \infty} \frac{10}{x}}$

Etapa 2.4.3

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 2.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Etapa 2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Multiplique $11$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Etapa 2.6.1.2

Some $10$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Etapa 2.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.6.2.1

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12 + 0}$

Etapa 2.6.2.2

Some $12$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{10}}{12}$

Etapa 3

Avalie $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{10 x^{2} + 11}}{12 x + 10}$ para encontrar a assíntota horizontal.

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Etapa 3.1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{\frac{12 x}{x} + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{10 x^{2}}{x^{2}} + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.2.2

Divida $10$ por $1$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.4

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.6

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.7

Avalie o limite de $10$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + lim_{x \to - \infty} \frac{11}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.2.8

Mova o termo $11$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{2}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + \frac{10}{x}}$

Etapa 3.4

Avalie o limite.

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Etapa 3.4.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{lim_{x \to - \infty} 12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Etapa 3.4.2

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + lim_{x \to - \infty} \frac{10}{x}}$

Etapa 3.4.3

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Etapa 3.5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 11 \cdot 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 3.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.1.1

Multiplique $11$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{10 + 0}}{12 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.6.1.2

Some $10$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 10 \cdot 0}$

Etapa 3.6.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $10$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12 + 0}$

Etapa 3.6.2.2

Some $12$ e $0$ .

$\frac{- \sqrt{10}}{12}$

Etapa 3.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\sqrt{10}}{12}$

Etapa 4

Liste as assíntotas horizontais:

$y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Etapa 5

Use a divisão polinomial para encontrar as assíntotas oblíquas. Como essa expressão contém um radical, não é possível realizar a divisão polinomial.

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 6

Este é o conjunto de todas as assíntotas.

Assíntotas verticais: $x = - \frac{5}{6}$

Assíntotas horizontais: $y = \frac{\sqrt{10}}{12}, - \frac{\sqrt{10}}{12}$

Não é possível encontrar assíntotas oblíquas

Etapa 7