Cálculo Exemplos

$y = 2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$

Etapa 1

Como $2$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $2 \sin (v^{2}) \cos (6 v)$ em relação a $v$ é $2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$ .

$2 \frac{d}{d v} [\sin (v^{2}) \cos (6 v)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ é $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ , em que $f (v) = \sin (v^{2})$ e $g (v) = \cos (6 v)$ .

$2 (\sin (v^{2}) \frac{d}{d v} [\cos (6 v)] + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ é $f' (g (v)) g' (v)$ , em que $f (v) = \cos (v)$ e $g (v) = 6 v$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 3.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $6 v$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) \frac{d}{d v} [6 v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 4

Diferencie.

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Etapa 4.1

Como $6$ é constante em relação a $v$ , a derivada de $6 v$ em relação a $v$ é $6 \frac{d}{d v} [v]$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- \sin (6 v) (6 \frac{d}{d v} [v])) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 4.2

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \frac{d}{d v} [v]) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v) \cdot 1) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 4.4

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \frac{d}{d v} [\sin (v^{2})])$

Etapa 5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d v} [f (g (v))]$ é $f' (g (v)) g' (v)$ , em que $f (v) = \sin (v)$ e $g (v) = v^{2}$ .

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Etapa 5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Etapa 5.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Etapa 5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $v^{2}$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) (\cos (v^{2}) \frac{d}{d v} [v^{2}]))$

Etapa 6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ é $n v^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v)) + \cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (\sin (v^{2}) (- 6 \sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Etapa 7.2

Combine os termos.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$- 12 (\sin (v^{2}) (\sin (6 v))) + 2 (\cos (6 v) \cos (v^{2}) (2 v))$

Etapa 7.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 \cos (6 v) \cos (v^{2}) v$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$- 12 \sin (v^{2}) \sin (6 v) + 4 v \cos (v^{2}) \cos (6 v)$