Cálculo Exemplos

$y \sin (x) = x \sin (y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y \sin (x)) = \frac{d}{d x} (x \sin (y))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = y$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$y \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$y \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$y \cos (x) + \sin (x) y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$x (\cos (u) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (\cos (y) \frac{d}{d x} [y]) + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y) \cdot 1$

Etapa 3.5

Multiplique $\sin (y)$ por $1$ .

$x \cos (y) y' + \sin (y)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y \cos (x) + \sin (x) y' = x \cos (y) y' + \sin (y)$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Reordene os fatores em $y \cos (x) + \sin (x) y'$ .

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x \cos (y) y' + \sin (y)$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Reordene os fatores em $x \cos (y) y' + \sin (y)$ .

$y \cos (x) + y' \sin (x) = x y' \cos (y) + \sin (y)$

Etapa 5.3

Subtraia $x y' \cos (y)$ dos dois lados da equação.

$y \cos (x) + y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y)$

Etapa 5.4

Subtraia $y \cos (x)$ dos dois lados da equação.

$y' \sin (x) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

Etapa 5.5

Fatore $y'$ de $y' \sin (x) - x y' \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Fatore $y'$ de $y' \sin (x)$ .

$y' (\sin (x)) - x y' \cos (y) = \sin (y) - y \cos (x)$

Etapa 5.5.2

Fatore $y'$ de $- x y' \cos (y)$ .

$y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

Etapa 5.5.3

Fatore $y'$ de $y' (\sin (x)) + y' (- x \cos (y))$ .

$y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ por $\sin (x) - x \cos (y)$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $y' (\sin (x) - x \cos (y)) = \sin (y) - y \cos (x)$ por $\sin (x) - x \cos (y)$ .

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x) - x \cos (y)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (\sin (x) - x \cos (y))}{\sin (x) - x \cos (y)} = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} + \frac{- y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{\sin (y)}{\sin (x) - x \cos (y)} - \frac{y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Etapa 5.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (y) - y \cos (x)}{\sin (x) - x \cos (y)}$