Cálculo Exemplos

$y z = \ln (x + z)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y z) = \frac{d}{d x} (\ln (x + z))$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Como $z$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $y z$ em relação a $x$ é $z \frac{d}{d x} [y]$ .

$z \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$z y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = x + z$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + z$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x + z]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x + z]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + z$ .

$\frac{1}{x + z} \frac{d}{d x} [x + z]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + z$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z]$ .

$\frac{1}{x + z} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [z])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + \frac{d}{d x} [z])$

Etapa 3.2.3

Como $z$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $z$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{x + z} (1 + 0)$

Etapa 3.2.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{1}{x + z} \cdot 1$

Etapa 3.2.4.2

Multiplique $\frac{1}{x + z}$ por $1$ .

$\frac{1}{x + z}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$z y' = \frac{1}{x + z}$

Etapa 5

Divida cada termo em $z y' = \frac{1}{x + z}$ por $z$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $z y' = \frac{1}{x + z}$ por $z$ .

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $z$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{z y'}{z} = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\frac{1}{x + z}}{z}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$y' = \frac{1}{x + z} \cdot \frac{1}{z}$

Etapa 5.3.2

Multiplique $\frac{1}{x + z}$ por $\frac{1}{z}$ .

$y' = \frac{1}{(x + z) z}$

Etapa 5.3.3

Reordene os fatores em $\frac{1}{(x + z) z}$ .

$y' = \frac{1}{z (x + z)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{z (x + z)}$